高考数学一轮复习 第4讲 定积分与微积分基本定理课件 理 北师大

考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例1训练1例2训练2例3训练3第4讲定积分与微积分基本定理概要课堂小结夯基释疑判断正误(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则abf(x)dx0.()(2)若f(x)是偶函数，则－aaf(x)dx＝20af(x)dx.()(3)若f(x)是奇函数，则－aaf(x)dx＝0.()(4)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是01(x2－x)dx.()考点突破解析(1)如图，考点一定积分的计算02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx＝13x310＋2x－12x221＝13＋4－2－2＋12＝56.【例1】(1)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈（1，2]，则02f(x)dx等于()A．34B．45C．56D．不存在(2)定积分039－x2dx的值为________．(3)－11e|x|dx＝________．考点突破(2)由定积分的几何意义知，考点一定积分的计算039－x2dx是由曲线y＝9－x2，故039－x2dx＝π·324＝9π4.(3)－11e|x|dx＝201e|x|dx【例1】(2)定积分039－x2dx的值为________．(3)－11e|x|dx＝________．直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．＝201exdx＝2ex10＝2e－2.答案(1)C(2)9π4(3)2e－2考点突破考点一定积分的计算规律方法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则－aaf(x)dx＝0.若f(x)为偶函数，则－aaf(x)dx＝20af(x)dx.考点突破【训练1】(1)定积分－11(x2＋sinx)dx＝________．(2)定积分02|x－1|dx＝________．解析(1)－11(x2＋sinx)dx＝－11x2dx＋－11sinxdx＝201x2dx＝2·x3310＝23.考点一定积分的计算(2)法一02|x－1|dx＝01|x－1|dx＋12|x－1|dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx＝x－x2210＋x22－x21＝1－12＋222－2－12－1＝1.考点突破【训练1】(1)定积分－11(x2＋sinx)dx＝________．(2)定积分02|x－1|dx＝________．易知面积S＝12＋12＝1.答案(1)23(2)1考点一定积分的计算法二由定积分的几何意义知所求定积分是图中阴影部分的面积，考点突破考点二利用定积分求平面图形面积【例2】如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积．设两切线相交于点M，由y＝4x－3，y＝－2x＋6消去y，得x＝32，即点M的横坐标为32.在区间0，32上，直线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；解由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率是k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.在区间32，3上，直线y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方．考点突破考点二利用定积分求平面图形面积【例2】如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积．S＝032[(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋323[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝032x2dx＋323(x2－6x＋9)dx因此，所求的图形的面积是＝98＋98＝94.考点突破考点二利用定积分求平面图形面积规律方法利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．考点突破【训练2】(1)如图所示，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1及y＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为()A．23B．13C．12D．14考点二利用定积分求平面图形面积解析(1)由x2＝14，得x＝12或x＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S＝01214－x2dx＋121x2－14dx＝14x－13x3120＋13x3－14x112＝14.考点突破【训练2】(2)曲线y＝x2与直线y＝kx(k0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________．考点二利用定积分求平面图形面积(2)由y＝x2，y＝kx，得x＝0，y＝0或x＝k，y＝k2，0k(kx－x2)dx＝k2x2－13x3k0则曲线y＝x2与直线y＝kx(k0)所围成的曲边梯形的面积为＝k32－13k3＝43，即k3＝8，解得k＝2.答案(1)D(2)2考点突破由变速直线运动的路程公式，可得考点三定积分在物理中的应用【例3】一物体作变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6s间的运动路程为________．解析由图可知，v(t)＝2t(0≤t≤1)，2(1≤t≤3)，13t＋1(3≤t≤6).S＝126v(t)dt＝1212tdt＋132dt＋3613t＋1dt＝t2112＋2t31＋16t2＋t63＝494(m)．所以物体在12s～6s间的运动路程是494m.答案494m考点突破考点三定积分在物理中的应用规律方法定积分在物理中的两个应用：(1)求物体做变速直线运动的位移，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝abv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝abF(x)dx.考点突破解析由题意知变力F(x)对质点M所做的功为110(x2＋1)dx【训练3】设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1的方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．＝13x3＋x101考点三定积分在物理中的应用＝342(J)．答案3421．求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(3)利用定积分的几何意义求定积分．2．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形．(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限．(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．(4)计算定积分．思想方法课堂小结1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.易错防范课堂小结