北京市朝阳区 高三数学查漏补缺题：解析几何

taoti.tl100.com你的首选资源互助社区解析几何综合题求解策略一、圆锥曲线的几何性质1．已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是A.2B.3C.115D.3716【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线2:1lx为抛物线24yx的准线，由抛物线的定义知，P到2l的距离等于P到抛物线的焦点)0,1(F的距离，故本题化为在抛物线24yx上找一个点P使得P到点)0,1(F和直线2l的距离之和最小，最小值为)0,1(F到直线1:4360lxy的距离，即25|604|mind，故选择A。解析2：如下图，由题意可知22|3106|234d2．设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为023yx，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点.若3||1PF，则||2PF（）A．1或5B．6C．7D．9解：双曲线19222yax渐近线方程为y=xa3,由已知渐近线为023yx，122,||||||4aPFPF，||4||12PFPF，12||3,||0PFPF，7||2PF故选C.3.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于(C)（A）3（B）2（C）5（D）6taoti.tl100.com你的首选资源互助社区解：设切点00(,)Pxy，则切线的斜率为0'0|2xxyx.由题意有0002yxx又2001yx解得:2201,2,1()5bbxeaa.4.（2009宁夏海南卷理）双曲线24x-212y=1的焦点到渐近线的距离为（A）23（B）2（C）3（D）1解析：双曲线24x-212y=1的焦点(4,0)到渐近线3yx的距离为340232d,选A5.（2009湖北卷文）过原点O作圆x2+y2-－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为。【答案】4【解析】可得圆方程是22(3)(4)5xy又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ6．设变量xy，满足约束条件：222yxxyx，，．≥≤≥，则yxz3的最小值（）A．2B．4C．6D．8答案：D7．双曲线的渐近线方程xy43,则双曲线的离心率为________答案35,458.（2009北京理）椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则2||PF_________；12FPF的小大为__________.【答案】2,1209（2009浙江文）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFxtaoti.tl100.com你的首选资源互助社区轴，直线AB交y轴于点P．若2APPB，则椭圆的离心率是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．32B．22C．13D．12D【解析】对于椭圆，因为2APPB，则12,2,2OAOFacew.w.w.k.s.5.u.c.o.m10．过点(2,2)P引椭圆2214xy的切线l，则切线l的方程为答案：38100,2xyx二、圆锥曲线的轨迹问题1．（北京理17）矩形ABCD的两条对角线相交于点(20)M，，AB边所在直线的方程为360xy，点(11)T，在AD边所在直线上．（I）求AD边所在直线的方程；（II）求矩形ABCD外接圆的方程；（III）若动圆P过点(20)N，，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（I）因为AB边所在直线的方程为360xy，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3．又因为点(11)T，在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为13(1)yx．320xy．（II）由36032=0xyxy，解得点A的坐标为(02)，，因为矩形ABCD两条对角线的交点为(20)M，．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又22(20)(02)22AM．从而矩形ABCD外接圆的方程为22(2)8xy．（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以22PMPN，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区即22PMPN．故点P的轨迹是以MN，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．因为实半轴长2a，半焦距2c．所以虚半轴长222bca．从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(2)22xyx≤．25.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）2.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPOM=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，，由已知得1,4,37acacac解得，所以椭圆C的标准方程为221167xy（Ⅱ）设(,)Mxy，其中4,4x。由已知222OPOM及点P在椭圆C上可得2222911216()xxy。整理得2222(169)16112xy，其中4,4x。（i）34时。化简得29112y所以点M的轨迹方程为47(44)3yx，轨迹是两条平行于x轴的线段。（ii）34时，方程变形为2222111211216916xy，其中4,4x当304时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足44x的部分。taoti.tl100.com你的首选资源互助社区BAMOyxF2F1P图8-3l当314时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足44x的部分；当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；三、直线与圆锥曲线位置关系3．椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点为12,FF，点P在椭圆C上，且112,PFFF12414,33PFPF.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过圆22420xyxy的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程.解法1：（1）因为点P在椭圆C上，所以122||||6,3.aPFPFa5c，在12RtPFF中，221221||||||25FFPFPF，故椭圆的半焦距从而2224bac，所以椭圆C的方程为22194xy.（2）设,AB的坐标分别为1122(,),(,)xyxy.已知圆的方程为22(2)(1)5xy，所以圆心M的坐标为(2,1)，从而可设直线l的方程为(2)1ykx，代入椭圆C的方程得22222(49)(3618)3636270kxkkxkk.因为,AB关于点M对称，所以21221892249xxkkk，解得89k，所以直线l的方程为8(2)19yx，即89250xy.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区（经检验，所求直线方程符合题意）解法2：（1）同解法1.（2）已知圆的方程为22(2)(1)5xy，所以圆心M的坐标为(2,1).设,AB的坐标分别为1122(,),(,)xyxy.由题意12xx且2211194xy，①2222194xy.②由①-②得12121212()()()()094xxxxyyyy.③因为,AB关于点M对称，所以12124,2xxyy，代入③得121289yyxx，即直线l的斜率为89，所以直线l的方程为81(2)9yx，即89250xy.（经检验，所求直线方程符合题意）4．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率22e，此椭圆与直线33230xy交于A，B两点，且OAOB（其中O为坐标原点），求椭圆的方程.解：设椭圆方程为22221(0)xyabab，因为22cea，所以22212aba，即222ab，所以椭圆方程化简为222212xybb，即为22222xyb．由22222,33230,xybxy消去y得2283832033xxb，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则12839xx，212869bxx．又因为OAOB，所以0OAOB，即12120xxyy，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区所以12122323()()033xxxx，整理得12122342()033xxxx，所以22(86)23834()09393b，化简得21b.故所求椭圆方程为2212xy.5.将圆O:4yx22上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),得到曲线C.(1)求C的方程;(2)设O为坐标原点,过点)0,3(F的直线l与C交于A、B两点,N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证:ON2OE的充要条件是3|AB|.解:(1)设点)y,x(P,点M的坐标为)y,x(,由题意可知,y2y,xx………………(2分)又,4yx22∴1y4x4y4x2222.所以,点M的轨迹C的方程为1y4x22.………………(4分)(2)设点)y,x(A11,)y,x(B22,点N的坐标为)y,x(00,㈠当直线l与x轴重合时,线段AB的中点N就是原点O,不合题意,舍去;………………(5分)㈡设直线l:,3myx由4y4x3myx22消去x,得01my32y)4m(22………………①∴,4mm3y20………………(6分)∴4m344m34m34mm33myx2222200,∴点N的坐标为)4mm3,4m34(22.………………(8分)①若OEON2,坐标为,则点E的为)4mm32,4m38(22,由点E在曲线C上,得1)4m(m12)4m(4822222,即,032m4m24∴4m(8m22舍去).由方程①得,14m1m44m16m4m12|yy|2222221taoti.tl100.com你的首选资源互助社区又|,)yy(m||mymy||xx|212121∴3|yy|1m|AB|212.………………(10分)②若3|AB|,由①得,34m)1m(422∴.8m2∴点N的坐标为)66,33(,射线ON方程为:)0x(x22y,由4y4x)0x(x22y22解得36y332x∴点E的坐标为),36,332(∴OEON2.综上,OEON2的充要条件是3|AB|.四、圆锥曲线的参试范围问题6．已知点F为椭圆22:198xyW的右焦点，点0(,)2mPy在椭圆W上，直线PF交椭圆W于点Q，且PFFQ，若≤≤134，求实数m的范围．解法1：设11(,)Qxy，因为0(,)2mPy，PFFQ，所以1011(1),2.mxyy解得1101(1),21.mxyy由点P、Q均在椭圆W上，所以2202202211()1,9281(1)1.928myym消去0y并整理，得108m，因为≤≤134,所以310148m≤≤.解得2m≤≤4．解法2：设11(,)Qxy，由题知3a，22b，1c，13e，(1,0)F，0(,)2mPy，taoti.tl100.com你的首选资源互助