GeoGebra软件与高中数学教学整合的实践研究

圆园15年第1—2期摘要：分析信息技术与高中数学教学整合的现状，通过具体教学案例，介绍动态数学教育软件GeoGebra的一些基本使用方法，并阐述了GeoGebra软件与高中数学教学整合的优点和教学实践中的体会.关键词：GeoGebra软件；信息技术；高中数学；课程整合课标要求应重视信息技术与数学课程内容的有机整合，利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的内容.但从教学实践看，信息技术在学科教学中的运用呈现出“炒得过热，用的太少”“复杂科技，简单应用”的景象.其中教师的信息技术能力已成为制约信息技术与数学教学整合的一大瓶颈.目前广大教师常用的制作多媒体课件的工具为powerpoint、author原ware、flash和几何画板等，但powerpoint不太适合制作数学课件，用authorware和flash制作数学课件，不仅需要熟悉其软件的操作使用，而且要有较强的编程能力，一般教师对此望而却步.广大教师熟知的几何画板软件，由于它设计的本意是用于平面几何的教学，其绝大多数功能都是基于尺规作图完成.因此需用构造的方法画出符合某种条件的点的轨迹———曲线.例如，用几何画板软件作圆锥曲线的切线就十分不便，从而影响了几何画板软件在高中数学教学中的广泛使用.动态数学教育软件GeoGebra不仅具有几何画板软件的全部功能，而且操作更加简单，可以直接在命令框中输入命令作图、计算，可以实现几何图形与代数方程的同步变化.另外，还具备几何画板软件没有的符号计算、微积分、统计等功能.GeoGebra软件曾获多项国际教育软件大奖，在欧美和我国的台湾等地区早已广泛使用.笔者在教学实践中，将GeoGebra软件辅助数学教学，深感其功能强大、使用方便，现结合具体教学案例，将GeoGebra软件与高中数学教学整合的实践与思考和大家分享，以期能抛砖引玉，共同提高.一、利用GeoGebra软件进行动态作图，探究函数性质著名数学家华罗庚对数形结合思想曾有精辟论述，数缺形时少直观，形少数时难入微.在函数图象的教学中，我们若能恰当地运用现代化教学手段，则能使学生在正确、迅速、动态地获得图象的过程中，加深对函数图象的了解，便于研究函数的性质.例如，函数y=Asin（棕x+渍）的图象历来是一个教学难点，教师在引导学生用“五点法”作出相关具体函数的图象后，用传统教学手段，只能借助列表中的相关点坐标之间的关系，帮助学生分析得出参数A，棕，渍对函数图象的影响，只能“言传意会”，不能“动态呈现”.因此教师教得累，学生听得累.笔者在教学这一内容时，利用GeoGebra软件（使用的是GeoGebra软件4.4中文特别版）辅助教学，无须课前制作课件，在GeoGebra软件环境下就能实现快捷、动态作图，帮助学生直观地分析得出函数的性质，具体操作要点如下.（1）在绘图区单击右键，选绘图区，在参数设置收稿日期：2014—08—25基金项目：全国高师数学教育研究会小教培养工作委员会课题———信息技术与五年制高师数学课程整合的实践研究（XJ201303）.作者简介：施永新（1963—），男，副教授，主要从事数学教育和信息技术与数学教学整合研究.GeoGebra软件与高中数学教学整合的实践研究施永新（南通师范高等专科学校）教育技术JIAOYUJISHU116圆园15年第1—2期对话框中，选x轴标签页，将间距设为仔2.（2）选择工具栏中的参数工具，在绘图区新建一个滑杆按钮，名称为A，最小值为0.1，最大值为5.同样再建两个滑杆按钮，名称分别为棕和渍，其中参数棕的最小值为0.1，最大值为10，参数渍的最小值为-5，最大值为5，如图1所示.图1（3）在命令框中输入：函数［sinx，0，6.28319］，按回车键即可作出函数y=sinx在区间［0，2仔］上的图象.同理在命令框中输入：函数［A*sin（棕x+渍），-渍/棕，（6.28319-渍）/棕］，则得到函数g（x）=Asin（棕x+渍）在长度为一个周期的闭区间上的图象.选中图象单击右键，选属性，在参数设置对话框中，将图象线宽设为5，颜色设置为红色.将上述图形画好后，先拖动棕和渍滑杆按钮，使棕的值为1，渍的值为0，然后拖动A滑杆按钮改变参数A的值，观察函数g（x）=Asinx的图象的变化，再结合特殊点坐标的分析，由学生归纳总结出它与函数f（x）=sinx图象之间的关系，得出振幅变换的结论.用同样的方法只改变棕或只改变渍的值，引导学生观察、分析得出周期变换和相位变换的结论.实时、动态变换的图形能帮助学生轻松地理解抽象函数式中每个参数的含义，起到了传统教学手段无法呈现的效果，有效地突破了教学难点.二、利用GeoGebra软件进行无限分割，诠释抽象定义高中阶段的定积分定位在对连续函数的一种“和的极限”，这种和的结构复杂抽象，定义叙述较长，不好理解，所以定积分概念是定积分教学的一个难点.新课标在对定积分的要求中指出，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念.但在教学定积分的背景问题之一———求曲边梯形的面积时，用传统教学手段难以描述从“有限”到“无限”的动态变化过程，教师只能“言传”，学生只能“意会”，由于缺乏操作体验和直观的感知，给建构和理解定积分的概念造成了困难.而借助GeoGebra软件，对位于区间［0，1］上，由函数y=x2与x轴围成的曲边梯形进行任意n等份的分割变得十分容易，且能动态作图，直观生动.笔者在教学定积分这一概念时，先引导学生思考分析如何求曲边梯形的面积，在学生理解方法的基础上，借助GeoGebra软件当堂作图演示，操作要点如下.（1）在命令框中输入：f（x）=x^2，作出函数f（x）=x2的图象.（2）在绘图区建立一个滑杆按钮，名称为n，最小值为1，最大值为100，增量为1.（3）在命令框中输入：下和［f，0，1，n］，则得到n个以分割区间左端点处的函数值为高，宽为驻x=1n的小矩形，并在代数区显示a=0.25，即下和的值.（4）在命令框中输入：上和［f，0，1，n］，则得到n个以分割区间右端点处的函数值为高，宽为驻x=1n的小矩形，并在代数区显示b=0.42，即上和的值.（5）单击工具栏中滑杆按钮右下角的小三角形，在下拉菜单中选择复选框按钮，在绘图区单击一下，在弹出的复选框对话框的标题输入框中输入：上和，“在绘图区或代数区选择对象”下拉框中，选择“数值a：下和［f，0，1，n］”，则在绘图区得一个下和复选框按钮.选择工具栏中的文本工具，在弹出的文字对话框的编辑输入框中输入：下和=，再在对象下拉框中选择a，则在绘图区显示“下和=0.25”，如图2所示.同理，制作上和复选框按钮.图2教育技术JIAOYUJISHU117圆园15年第1—2期如图3，选择下和复选框按钮，拖动滑杆按钮改变分割份数n的值，可以清晰地看到随着分割的份数越来越多，所有小矩形的面积之和越来越接近于曲边梯形的面积，使学生能在具体的情境中体会“分割—近似代替—求和—逼近”的过程.为学生理解和学习定积分这一抽象定义做了直观形象的铺垫与解释.图3三、利用GeoGebra软件进行直观演示，辅助公式推导数学的公理、定理和公式是无数前人苦苦探索、逐步积累和完善的产物，它的形成是一个漫长而动态的过程.而教材呈现给我们的往往只是浓缩的、静态的、结论性的内容.作为教师，我们应该尽可能再现数学知识那曲折的探究过程，将教材上冰冷的学术形态，恢复为学生易于接受的、火热思考的教育形态.笔者在教学“球的体积公式”时，借助GeoGebra软件进行辅助教学，首先出示底面半径为R的一个半球与底面半径为R，高为R的一个圆柱和一个圆锥，请学生通过观察说出三个几何体体积之间的关系，易得V圆锥V半球V圆柱，从而有13仔R3V半球仔R3.然后请学生大胆猜想半球的体积是多少？学生根据上述不等式大多猜想V半球=23仔R3.这个猜想是否正确？我们能否构造一个符合祖暅原理的几何体，即这个几何体与半球夹在两平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时，截得的面积总相等.由于V圆柱-V圆锥=23仔R3，所以容易想到这个几何体应为圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的倒圆锥.这个几何体是否符合要求呢？下面借助用GeoGebra软件制作好的课件进行动态的直观演示，课件的制作方法如下.（1）在命令框中分别输入：u=（-1，0），v=（0，-0.15），新建两个向量u和v，在绘图区建立一个滑杆按钮，名称为k，最小值为0.01，最大值为1，增量为0.01.（2）在命令框中输入：A=（-7，0），构建点A，输入：O=A+（3，0），构建点O，输入：B=O+（3，0），构建点B，输入：C=B+（2，0），构建点C，输入：O_1=C+（3，0），构建点O1，输入：D=O_1+（3，0），构建点D，输入：E=C+（0，3），构建点E，输入：F=D+（0，3），构建点F，输入：N=O+（0，3），构建点N，输入：N忆=O_1+（0，3），构建点N忆.（3）画两个几何体，在命令框中输入：半圆［A，B］，构造以AB为直径的半圆.接着输入：曲线［x（O+3cos（t）u+3sin（t）v，y（O+3cos（t）u+3sin（t）v），t，0，6.23819］，构造表示半球底面的曲线，再将上述命令中的O，分别改为O_1和N忆，在命令框中输入后，即可构造表示圆柱上、下底面的曲线.最后选择工具栏中的线段工具，构造线段CE，DF，O1E，O1F，ON，O1N忆，并将线段ON，O1N忆的线型设为虚线.（4）画两个截面，在命令框中输入：O忆=O+（0，3k），构造点O忆，输入：O_2=O_1+（0，3k），构造点O2.然后再输入：曲线［x（O忆+3sqrt（1-k^2）cos（t）u+3sqrt（1-k^2）sin（t）v），y（O忆+3sqrt（1-k^2）cos（t）u+3sqrt（1-k^2）sin（t）v），t，0，6.23819］，构造表示半球的截面圆的曲线.选中曲线，单击右键，选属性，在参数设置对话框中，颜色选红色，不透明度设为25，在命令框中输入：［x（O_2+3cos（t）u+3sin（t）v），y（O_2+3cos（t）u+3sin（t）v），t，0，6.23819］，构造表示截面圆环外圆的曲线，并将其颜色设为红色，不透明度设为25.在命令框中输入：［x（O_2+3k*cos（t）u+3k*sin（t）v），y（O_2+3k*cos（t）u+3k*sin（t）v），t，0，6.23819］，构造表示截面圆环内圆的曲线，并将其颜色设为白色，不透明度设为100.将此命令再重新执行一次，并将所得曲线的颜色教育技术JIAOYUJISHU118圆园15年第1—2期设为红色，不透明度设为0，这样设置后即可显示一个红色圆环.（5）在命令框中输入：S=3.14159（1-k^2）9，计算截面圆的面积.选择文本工具，在编辑框中输入：S_｛截面圆｝=，再选择对象下拉框中的S，则在绘图区显示S截面圆=21.21.同样方法再在绘图区显示S截面圆环=21.21.将字号设为大号，选粗体，颜色为蓝色.最后将无关的标签和对象隐藏，效果如图4所示.图4NOO忆N忆O1O2拖动滑杆按钮，改变参数k的值，两个几何体的红色截面同时上下发生变化，但它们的面积始终保持相等.在此基础上，再引导学生结合图形证明这两个截面的面积相等，根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，从而推导出球的体积公式.显然用GeoGebra软件辅助教学，由于作图规范标准，且截面能同时上下移动，动态显示截面面积，能有效地帮助学生深刻理解用祖暅原理推导球的体积公式的思路与方法.四、利用GeoGebra软件进行数学实验，探究发现定理费赖登塔尔主张，教师不必将各种规则、定律强行灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己再创造出各种运算法则，或是发现各种定律知识.技术的进步为学生的自主探究和再发现提供了更多便利的支持，GeoGebra软件因其使用简单，功能强大，是一个很好的“数学实验室”.笔者曾以2013年高考山东卷第22题为素