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1、1第一章集合与常用逻辑用语一.集合的概念与运算1.常用数集:自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R.2.2.集合间的基本关系:ABBABABA是的真子集是的子集与相等不是的子集A(B)BA(1)A是B的子集:集合A中的任意元素,都在集合B,记为A⊆B(或B⊇A).(2)A是B的真子集:若A⊆B,且A≠B,,则说A是B的真子集.特殊的集合:空集,规定空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有2n-1个,A的非空真子集合有2n-2。3.集合的运算有三种:交集、并集、补集.(1)并集:A∪B={集合A与B的所有元素构成,重复的只写一次}.(2)交集:A∩B={集合A与B的相同元素构成}.(3)补集:∁UA={集合U中除掉集合A中的元素构成}BABA二.命题及其关系、充分条件与必要条件1.四种命题:原命题:若P则q;否命题:若非P则非q,条件和结论都要否定;逆命题:若q则p,条件和结论交换位置;逆否命题:若非q则非p,对原命题先逆再否.2.充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p,则q”形式。
2、的命题为真时,记作p⇒q,称p是q的充分条件,q是p的必要条件.即:集合A是集合B的真子集,那么集合A就是集合B的充分不必要条件,集合B就是集合A的必要不充分条件.(2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件,q也是p的充要条件.即:集合A与集合B的相同,A就是集合B的充要条件.三.简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.逻辑联结词是:“或”、“且”、“非”(1)“或”、“且”、“非”的含义:2“或”:只要满足一个就可以,等同于集合中的“交”运算.“且”:两个都要满足,等同于集合中的“并”运算.“非”:它的反面.成立的非是不出来,不成立的非是成立,等同于“补”运算.规律:p∨q为真命题,只需p,q有一个为真即可,p∧q为真命题,必须p,q同时为真,若P为真,则非P就假,若P为假,则非P就为真.2.全称量词与存在量词、全称命题与特称命题(1)短语“所有的”“任意一个”这样的词语,一般在指定的范围内都表示事物的全体,这样的词叫做全称量词,用符号“∀”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”(2)短语“存在一个”“至少有一个”这。
3、样的词语,都是表示事物的个体或部分的词叫做存在量词.并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”.3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定对M中任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)不成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立对M中任意一个x,有p(x)不成立否命题、命题的否定的区别:否命题是条件和结论都要否定,命题的否定只否定结论,但是全称命题和特称命题的否定按特殊的模式:量词“存在和任意”要否定和结论要否定.p或q的否定为:非p且非q;p且q的否定为非p或非q.第二章函数和导数一.函数的性质:1.单调性:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,①若f(x1)<f(x2),则f(x)在区间D上是增函数;②若f(x1)>f(x2),则f(x)在区间D上是减函数.pqp∧qp∨q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3x1x2y=f(X)xyf(x)1f(x)2oy=f(X)yxoxx2f(x)f(x)211增函数减函数2.奇、偶函数(1)如果对D内的任意一个x,f(-x)。
4、=-f(x),则这个函数叫做奇函数.图象关于原点对称(2)如果对D内的任意一个x,f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数.图象关于y轴对称.奇函数图象偶函数图象3.周期性:于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,都有f(x+T)=f(x).那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.如正弦函数.二.常见函数的图像和性质:1、特殊幂函数(1.)一次函数:y=kx+b解析式y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)图象单调性增函数减函数定义域RR值域RR4(2.)二次函数:2(0)yaxbxca解析式2(0)yaxbxca2(0)yaxbxca图象x定义域RR值域2min44acbya2max44acbya对称轴直线2bxa顶点2424bacbaa(,)单调性对称轴左边为减,右边为增对称轴左边为增,右边为减(3.)反比例函数:(0)kykx解析式(0)kykx(0)kykx图象xyxy定义域{x|x0}{x|x0}值域{y|y0}{y|y0}对称性关于原点对称单调性-+(,0),(0,)为减-+(,0)。
5、,(0,)为增2.幂函数(1)幂函数的定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.(2)幂函数的图象52.指数函数(1)运算公式①nan=a.;②当n为奇数时,nan=a.当n为偶数时,nan=|a|=aa≥0,-aa<0.(2).有理数指数幂①正整数指数幂:an=a·a·…·an个(n∈N*).②零指数幂:a0=1(a≠0).③负整数指数幂:a-p=1ap(a≠0,p∈N*).④正分数指数幂:amn=nam(a>0,m、n∈N*,且n>1).⑤负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam(a>0,m、n∈N*,且n>1).⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.(3)有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q).②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q).③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(3)指数函数xya的图象与性质y=axa>10<a<1图象定义域R值域(0,+∞)性质过定点(0,1)底数、真数同范围对数值为正,底数、真数异范围对数值为负增函数减函数63.对数函数logbay的图。
6、像与性质(1)对数的性质①ax=N⇔x=logaN(a>0,a≠1).;②loga1=0(a>0,a≠1);③logaa=1(a>0,a≠1);④alogaN=N(a>0,a≠1);⑤logaam=m(a>0,a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(M·N)=logaM+logaN;②logaMN=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).(3)将以10为底的对数叫常用对数,记为lgN,次e=2.71828…为底的对数叫自然对数,记作lnN.(4)对数函数logbay的图像与性质logbaya>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即x=1时,y=0log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数三.函数图像变换:1、平移变换①水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.②竖直平移。
7、:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位而得到.2.伸缩变换①y=af(x)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a>1时)缩(a<1时)到原来的a倍.②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)缩(a>1时)到原来的1a.四.导数1.几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)上在点(x0,f(x0))处的01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx7切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).2.基本初等函数的导数公式若f(x)=c,则f′(x)=0;若f(x)=xn(n∈Q),则f′(x)=nxn-1;若f(x)=sinx,则f′(x)=cos_x;若f(x)=cosx,则f′(x)=-sin_x;若f(x)=ax,则f′(x)=axln_a(a>0且a≠1);若f(x)=ex,则f′(x)=ex;若f(x)=logax,则f′(x)=1xlna(a>0且a≠1);若f(x)=ln。
8、x,则f′(x)=1x.3.导数的运算法则若f′(x)、g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);(3)fxgx′=f′xgx-fxg′x[gx]2(g(x)≠0).4.导数的应用(1)f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)为增函数;f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)为减函数.(2)求函数单调区间的步骤:①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(f′(x)<0)解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调区间.(3)导函数与原函数的区别和联系:导函数看符号,原函数对应的是单调.(4)函数的极值判断f(x0)是极值的方法①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.(5)求可导函数极值的步骤①求f′(x。
9、);②求方程f′(x)=0的根;③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.(6)极值的性质:极值点处的导数值等于0.8第三章三角函数一-任意角三角函数:1.α是一个任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r>0),那么角α的正弦sinα=yr=22yxy余弦:cosα=xr=22xxy,正切:tanα=yx2.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1;(2)商数关系:sinαcosα=tanα.3.象限角符号:三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦.4.弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S扇形=12lr=12|α|r2.5.特殊角的三角函数值:003004506009001800270sin0212223101cos1232221010tan03313不存在0不存在cot不存在31330不存在0二-三角公式1.诱导公式:与有关的函数名不变,。
10、符合看象限,与2有关的函数名要变,符号看象限;2.诱导公式的运用:(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ;三角形中的诱导公式::sin(A+B)==sinC,cos(A+B)=-cosC,sinA2+B2=sinπ2-C2=cosC2,cosA2+B2=cosπ2-C2=sinC2.3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β;(2)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β;(3)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β;(4)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β;(5)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ;(6)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ.92.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(3)tan2α=2tanα1-tan2α.3.有关公式的逆用、变形等(1)cos2。
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