高三文科数学知识点梳理 文档

1第一章集合与常用逻辑用语一．集合的概念与运算1.常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2.2.集合间的基本关系：ABBABABA是的真子集是的子集与相等不是的子集A(B)BA(1)A是B的子集：集合A中的任意元素，都在集合B，记为A⊆B(或B⊇A)．(2)A是B的真子集：若A⊆B，且A≠B，，则说A是B的真子集.特殊的集合：空集，规定空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个，A的非空真子集合有2n－2。3．集合的运算有三种：交集、并集、补集.(1)并集：A∪B＝{集合A与B的所有元素构成，重复的只写一次}．(2)交集：A∩B＝{集合A与B的相同元素构成}．(3)补集：∁UA＝{集合U中除掉集合A中的元素构成}BABA二．命题及其关系、充分条件与必要条件1.四种命题：原命题：若P则q;否命题：若非P则非q，条件和结论都要否定；逆命题：若q则p,条件和结论交换位置；逆否命题：若非q则非p,对原命题先逆再否.2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．即：集合A是集合B的真子集，那么集合A就是集合B的充分不必要条件，集合B就是集合A的必要不充分条件.(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件.即：集合A与集合B的相同，A就是集合B的充要条件.三．简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词是：“或”、“且”、“非”(1)“或”、“且”、“非”的含义：2“或”：只要满足一个就可以，等同于集合中的“交”运算.“且”：两个都要满足，等同于集合中的“并”运算.“非”：它的反面.成立的非是不出来，不成立的非是成立，等同于“补”运算.规律：p∨q为真命题，只需p，q有一个为真即可，p∧q为真命题，必须p，q同时为真，若P为真，则非P就假，若P为假，则非P就为真.2.全称量词与存在量词、全称命题与特称命题(1)短语“所有的”“任意一个”这样的词语，一般在指定的范围内都表示事物的全体，这样的词叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”(2)短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语，都是表示事物的个体或部分的词叫做存在量词．并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”.3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)不成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立对M中任意一个x，有p(x)不成立否命题、命题的否定的区别:否命题是条件和结论都要否定，命题的否定只否定结论，但是全称命题和特称命题的否定按特殊的模式：量词“存在和任意”要否定和结论要否定.p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为非p或非q.第二章函数和导数一．函数的性质：1.单调性：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，①若f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数；②若f(x1)＞f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数．pqp∧qp∨q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3x1x2y=f(X)xyf(x)1f(x)2oy=f(X)yxoxx2f(x)f(x)211增函数减函数2．奇、偶函数(1)如果对D内的任意一个x，f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．图象关于原点对称(2)如果对D内的任意一个x，f(－x)＝f(x)，则这个函数叫做偶函数．图象关于y轴对称.奇函数图象偶函数图象3．周期性:于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)．那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如正弦函数.二.常见函数的图像和性质：1、特殊幂函数（1.）一次函数：y=kx+b解析式y=kx+b（k0）y=kx+b(k0)图象单调性增函数减函数定义域RR值域RR4（2.）二次函数：2(0)yaxbxca解析式2(0)yaxbxca2(0)yaxbxca图象x定义域RR值域2min44acbya2max44acbya对称轴直线2bxa顶点2424bacbaa（，）单调性对称轴左边为减，右边为增对称轴左边为增，右边为减（3.）反比例函数：(0)kykx解析式(0)kykx(0)kykx图象xyxy定义域{x|x0}{x|x0}值域{y|y0}{y|y0}对称性关于原点对称单调性-+（，0），（0，）为减-+（，0），（0，）为增2．幂函数(1)幂函数的定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象52.指数函数（1）运算公式①nan＝a.；②当n为奇数时，nan＝a.当n为偶数时，nan＝|a|＝aa≥0，－aa＜0.（2）．有理数指数幂①正整数指数幂：an＝a·a·…·an个(n∈N*)．②零指数幂：a0＝1(a≠0)．③负整数指数幂：a－p＝1ap(a≠0，p∈N*)．④正分数指数幂：amn＝nam(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．⑤负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)．②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)．③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．（3）指数函数xya的图象与性质y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)底数、真数同范围对数值为正，底数、真数异范围对数值为负增函数减函数63.对数函数logbay的图像与性质(1)对数的性质①ax＝N⇔x＝logaN(a＞0，a≠1)．；②loga1＝0(a＞0，a≠1)；③logaa＝1(a＞0，a≠1)；④alogaN＝N(a＞0，a≠1)；⑤logaam＝m(a＞0，a≠1)．(2)对数的运算性质如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)将以10为底的对数叫常用对数，记为lgN，次e＝2.71828…为底的对数叫自然对数，记作lnN.(4)对数函数logbay的图像与性质logbaya＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x＝1时，y＝0log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数三．函数图像变换：1、平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．2.伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)缩(a＜1时)到原来的a倍．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)缩(a＞1时)到原来的1a.四．导数1.几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)上在点(x0，f(x0))处的01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx7切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2.基本初等函数的导数公式若f(x)＝c，则f′(x)＝0；若f(x)＝xn(n∈Q)，则f′(x)＝nxn－1；若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cos_x；若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sin_x；若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a(a＞0且a≠1)；若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；若f(x)＝logax，则f′(x)＝1xlna(a＞0且a≠1)；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x.3．导数的运算法则若f′(x)、g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．4.导数的应用（1）f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)为增函数；f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)为减函数．（2）求函数单调区间的步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．（3）导函数与原函数的区别和联系：导函数看符号，原函数对应的是单调.(4)函数的极值判断f(x0)是极值的方法①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(5)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．(6)极值的性质：极值点处的导数值等于0.8第三章三角函数一-任意角三角函数：1.α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦sinα＝yr=22yxy余弦：cosα＝xr=22xxy，正切：tanα＝yx2．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：sinαcosα＝tanα.3.象限角符号：三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4.弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.5.特殊角的三角函数值：003004506009001800270sin0212223101cos1232221010tan03313不存在0不存在cot不存在31330不存在0二-三角公式1.诱导公式：与有关的函数名不变，符合看象限，与2有关的函数名要变，符号看象限；2.诱导公式的运用：(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ；三角形中的诱导公式：：sin(A＋B)＝＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sinA2＋B2＝sinπ2－C2＝cosC2，cosA2＋B2＝cosπ2－C2＝sinC2.3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；(6)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.92．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)cos2