大高考2017版高考数学一轮总复习第13章坐标系与参数方程课件理

知识点一极坐标与直角坐标1.极坐标系的概念(1)在平面内取一个定点O，叫作极点；自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；再选定一个单位、一个单位(通常取弧度)及其(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.长度角度正方向(2)设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记为(ρ，θ).2.极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：x＝，y＝或ρ2＝，tanθ＝yx（x≠0）(θ与(x，y)所在象限一致).ρcosθρsinθx2＋y23.圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.(2)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ.(3)圆心在点处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.►三个前提条件：极坐标与直角坐标互化的前提条件.(1)[①极点与原点重合；②极轴与x轴正方向重合；③取相同的单位长度]若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________.解析∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.答案x2＋y2－4x－2y＝0►两个易错点，忽略点的极坐标不唯一性和变量范围致误.(2)[在由点的直角坐标化为极坐标时，要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一]点M的直角坐标为(－，－1)，则其极坐标为________.解析ρ＝（－3）2＋（－1）2＝2，tanθ＝－1－3＝33.∵点M在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6.因此，点M的极坐标是2，7π6.答案2，7π6(3)[在曲线的方程进行互化时，要注意变量的范围，注意转化的等价性]极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是________(填序号).①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线.解析由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线.答案③►一类极坐标方程：直线的极坐标方程.(4)[若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则其方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)几个特殊直线极坐标方程.(1)过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.]在极坐标系中，点M4，π3到曲线ρcosθ－π3＝2上的点的距离的最小值为________.答案2解析依题意知，点M的直角坐标是(2，23)，曲线的直角坐标方程是x＋3y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋（3）2＝2.知识点二参数方程1.常见的参数方程(1)直线的参数方程若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，其中参数t有明显的几何意义.(2)圆的参数方程若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数).(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数).(4)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为x＝acosθ，y＝btanθ(θ为参数).(5)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数).2.参数方程与普通方程的互化(1)化参数方程为普通方程消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.(2)化普通方程为参数方程只要适当选取参数t，确定x＝φ(t)，再代入普通方程，求得y＝φ(t)，即可化为参数方程x＝φ（t），y＝φ（t）.►一个易错点：忽略直线方程的标准形式致误.(5)[对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.]直线l：x＝1－2t，y＝2＋2t(t为参数)上到点A(1，2)的距离为42的点的坐标为________.答案(－3，6)或(5，－2)解析设点Q(x，y)为直线上的点，则|QA|＝（1－1＋2t）2＋（2－2－2t）2＝（2t）2＋（－2t）2＝42，解之得，t＝±22，所以Q(－3，6)或Q(5，－2).►四个结论：常用的四个消参结论.①t·1t＝1；②sin2θ＋cos2θ＝1；③t＋1t2－t－1t2＝4；④2t1＋t22＋1－t21＋t22＝1.极坐标系与极坐标方程的应用突破方略(1)极坐标方程与直角坐标方程互化的思路①对于简单的问题可直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当变化，如将式子两边平方或两边同乘ρ等.②如果要判断曲线的形状，则可以将方程化为直角坐标方程后再进行判断.(2)求解与极坐标有关的问题的主要方法①直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用；②转化为直角坐标系后，用直角坐标求解.使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.【例1】在极坐标系中，点2，π3到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为()A.2B.4＋π29C.1＋π29D.3答案D解析由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，及ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以(x－1)2＋y2＝1，即圆心坐标为(1，0)，而点2，π3在直角坐标系中的坐标为(1，3)，所以两点间的距离为3.[点评]在极坐标系中研究曲线的形状、性质时，最常用的方法是化极坐标方程为直角坐标方程，转化为熟悉的问题，对一些简单的直线或圆的有关问题，也可以直接用极坐标知识解决.解决参数方程问题要熟练掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程的建立过程，特别是要明晰直线的参数方程中参数的几何意义，熟练掌握参数方程与普通方程互化的常见方法，学会在互化中寻找解题方案、优化解题思路.参数方程的应用求解策略(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.【例2】已知直线l的参数方程为x＝12t，y＝22＋32t(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ－π4.解(1)直线的参数方程可以化为x＝tcos60°，y＝22＋tsin60°，根据直线参数方程的意义，直线l经过点0，22，倾斜角为60°.(2)直线l的直角坐标方程为y＝3x＋22，ρ＝2cosθ－π4的直角坐标方程为x－222＋y－222＝1，所以圆心22，22到直线l的距离d＝64.所以|AB|＝102.极坐标、参数方程的综合应用【示例】(2016·高考全国模拟一)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝4cosθy＝4sinθ(θ为参数)倾斜角α＝π6的直线l经过点P(1，2).(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.解(1)消去θ得圆的标准方程为x2＋y2＝16.直线l的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6.即x＝1＋32ty＝2＋12t(t为参数)(2)把直线l的方程x＝1＋32ty＝2＋12t代入x2＋y2＝16.得1＋32t2＋2＋12t2＝16.即t2＋(2＋3)t－11＝0.所以t1·t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11.[规律方法](1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.