第4章 静态场边致问题的解法_20091203

第四章静态场边值问题的解法主要内容边值问题、分离变量法、数值解法等7学时1.边值问题的分类2.唯一性定理3.直角坐标系中的分离变量法4.圆柱坐标系中的分离变量法5.球坐标系中的分离变量法6.镜像法7.有限差分法4.1边值问题的分类第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值边值问题是指存在边界面的电磁问题。根据给定边界条件对边值问题分类：Sf狄里赫利问题（Dirichlet）第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法向导数值第三类边值问题：已知一部分边界面上的电位函数值,和另一部分边界面上电位函数的法向导数．Sfn诺埃曼问题（Neumann）12SSS11Sf22Sfn混合边值问题边值问题框图一、二类边界条件的线性组合，即)()(sfn3S已知场域边界上各点电位的法向导数)(sfn2S已知场域边界上各点电位值)(sf1S第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件220121212Snn边值问题参考点电位有限值limr场域边界条件分界面衔接条件自然边界条件微分方程边界条件解析法数值法实测法模拟法定性定量边值问题研究方法计算法实验法作图法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法数学模拟法物理模拟法边值问题研究方法框图唯一性定理：在场域V的边界面S上给定电位或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。n唯一性定理的意义指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；为静态场边值问题求解方法提供了理论根据，为结果正确性提供了判据；唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的理论根据。4.2唯一性定理（UniqunessTheorem）4.3直角坐标系中的分离变量法分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解具有理想边界条件的典型边值问题。一般情况下，采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。分离变量法是通过偏微分方程求解边值问题。其基本思想是：首先要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合，或者至少分段地与坐标面相合；其次在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为若干个函数的乘积，其中的每个函数分别仅是一个坐标的函数。这样，通过分离变量将偏微分方程化为常微分方程求其通解；最后，根据已知边界条件确定常数，得到边值问题的解。分离变量法解题的一般步骤：根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加各特解得到通解；利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。在直角坐标系中，拉普拉斯方程为：2222220xyz直角坐标系中的分离变量法设可以表示为三个函数的乘积，即：①当时20xk)()()(),,(zhygxfzyx0)(1)(1)(1222222dzzhdhdyygdgdxxfdf代入上式，得222()()xdfxkfxdx222()()dgykgydyy222()()zdhzkhzdz即其中为分离常数，且2220xyzkkkxyzkkk，，※分析与讨论220dfdx12(1)()fxAxA②当时20xk222()xdfkfxdx222()0xdfkfxdx通解：12()sin(2)cosxxfxAkxAkx③当时20xkxxkj令其中为实数x0)(222xfkdxfdx12(3)()xxkxkxfxAeAe通解：12()xxfxAshxAchx或者同理可以求得和()()gyhz利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。双曲函数例4.3-1横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U(x)，求此区域内的电位。(,)()()xyfxgy在区域0ya、0yb内边界条件为：①x=0,φ(0,y)=0②x=a,φ(a,y)=0③y=0,φ(x,0)=0④y=b,φ(x,b)=U(x)解：200xbaxyU000000()Uxab0xy0xbaxyU000000()Uxab0xy12()sincosxxfxAkxAkx(0,)(0)()0yfgy(1,2,3)xnkna12()yygyBshyBchy1()sinnnnxfxAa由于在X方向上有重复零点（x＝0和a点），因此电位函数为三角函数，即：且20xk20yk通解：yykj其中待定常数：①当时0x(0)0f1()sinxfxAkx所以2(0)00fA②当时xa(,)()()0ayfagy()0fa1()sin0xfaAaksin0xak故：③当时0y(,0)()(0)0xfxg(0)0g1()snnngyBhya所以2(0)00gB因为220xykkynkjayna1(,)sinsnnnnxnyxyABhaa故：nD④当时yb1(,)sins()nnnxnbxbDhuxaa讨论两种情况和00()()sinxuxuuxua12()yygyBshyBchy0001sinsinsinsaannmxmxnxnbUdxDhdxaaaa04smUDmbmhaI.当0()uxu01sinsnnnxnbuDhaa左右两边同乘以，并在区间(0，a)积分sinmxamnmnadxaxmaxna02/sinsin0又有因此0(1cos)s(1,2,3)2maambUmDhmnma01sinsinsnnxnxnbuDhaaa014(,)sins(1,2,3)smUmxmbxyhymmbaamha对应系数相等II.当0()sinxuxua01sUDbha因此0(,)sinssUxbxyhybaaha分离变量法的求解步骤建立正确的坐标系,确定变量的个数；写出方程的通解；利用自然边界条件化简通解；利用电磁边界条件建立确定系数的方程并解方程,求出待定系数。001200100002圆柱坐标系中的分离变量法4.4圆柱坐标系中的分离变量法20圆柱坐标中的拉普拉斯方程（）为22222110rrrrrzz仅讨论二维平面场情形，即与坐标变量无关时222110rrrrr222()()()()0gfrfrgrrrrr令()()frg，代入上式得化简得22()1()0()()rfrgrfrrrg22()1()0()()rfrgrfrrrg令第二项等于（）2222d()()0dgg2()0()rfrrfrrr※分析与讨论①当时01-00()gAB(11)②当时01-()sin()cos()gABn取整数所以()sin()cos()nnngAnBn(12)2dd()()0ddfrrrnfrrr2222d(d()()0ddfr)frrrnfrrr2讨论()fr1讨论()g2222d(d()()0ddfr)frrrnfrrr欧拉方程①当时0n2-00()lnfrCrD(21)②当时0n2-(22)()nnnnfrCrDr综上，圆柱坐标中二维场的通解为0000(,)()(ln)rABCrD1[sin()cos()]()nnnnnnnAnBnCrDr边界条件：200cosExErr20xEEe1例4.4-1将半径为的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场中，柱轴与垂直，求任意点的电位。0E0Eara2021(,)(cossin)nnnnrrAnBn1(cossin)nnnnrCnDn(,)(,)rr解：ra1021()cosnnnnnArCrn)(ar0,01nAEA)1(n201coscosnnnErCrn01coscos0nnnEaCanr20xEEe200cosExEr1ra202)1(0,201nCaECn20cosaErr01coscos0nnnEaCan201coscosnnnErCrn222222211sin0sinsinrrrrrrrr球坐标系中的分离变量法4.5球坐标系中的分离变量法20球坐标中的拉普拉斯方程（）为仅讨论场问题与坐标无关时的情形22211sin0sinrrrrr()()frg令，代入上式得222(()()()sin0sing)frfrgrrrrr令两项分别等于常数和2dd()()ddfrrfrrr1dd()sin()sinddgg引入一个新的自变量cosx则有ddddsinddddxxx2dd()(1)()0ddgxxgxxx－－勒让德方程取(1)mm则2()(1)((1))0ddgx-xgxdxdmxmx当从1到-1时，勒让德方程有一个有界解－－勒让德多项式21()(1)2!mmmmmdPxxmdx1讨论()g下面是前几个勒让德多项式1xP(1)1m当时，；1xP(1)(1)mm时，当－－勒让德多项式21()(1)2!mmmmmdPxxmdx0P()1x1P()cosxx22211P()(31)3(cos1)22xx33311P()(53)(5cos3cos)22xxx勒让德多项式图形勒让德多项式具有正交性101P(cos)P(cos)sindP()P()d0mnmnxxx()mn122012[P(cos)]sind[P()]d21mmxxm()mn2讨论()fr2dd()()ddfrrfrrr2dd()(1)()0ddfrrfrrrmm欧拉方程)1()(mmmmrBrArf通解综上，球坐标中的通解为(1)0()P(cos)mmmmmmArBr00(,)(cos)cosnnnnrArPEr100(,)cos(cos)nnnnrErBrP10(,)()(cos)nnnnnnr