2011高考数学一轮复习《学案与测评》课件：第7单元 平面向量

第七单元平面向量知识体系第一节平面向量的概念及其线性运算基础梳理1.向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量具有和的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量.模.零向量长度为的向量,其方向是不确定的记作.单位向量长度等于的向量常用表示平行向量方向或的向量与共线可记为.与任意向量.共线向量向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量与相等记作.相反向量长度且方向的向量(1)与为相反的向量,则.(2)的相反向量为.0eabbaabba000ABAB大小方向01相同相反平行ab相等相反ba//相等相同ba//2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律:a+b=.(2)结合律:(a+b)+c=.减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差法则数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=.(2)当λ0时,λa与a;当λ0时,λa与a;当λ=0或a=0时,λa=.λ(μa）=；(λ+μ)a=;λ(a+b)=.三角形平行四边形b+aa+(b+c)|λ||a|同方向反方向0(λμ)aλa+μaλa+λb三角形3.平行向量基本定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使.题型一平面向量的有关概念典例分析【例1】给出下列五个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若|a|=|b|,则a=b;③ABCD中,一定有;④若m=n,n=p,则m=p;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段；⑦非零向量的单位向量是唯一的其中不正确的个数是()A.2B.3C.4D.5DCABba分析在正确理解有关概念的基础上,注意特殊情况是解决本题的关键.解选B.两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,故①不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故②不正确;③、④正确；零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故⑤不正确.学后反思(1)着重理解向量以下几个方面:①向量的模;②向量的方向;③向量的几何表示;④向量的起点和终点.(2)判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊的情况:①零向量与任何向量共线;②单位向量的长度为1，方向不固定.举一反三1.已知下列命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a、b中的一个方向相同;②在△ABC中,必有;③若,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.30CABCAB0CABCAB解析：①错误,a+b=0时,就不满足结论;②正确,∵;③错误,A、B、C三点还可以共线;④错误,只有a与b同向时才相等.答案：B0AC-ACBACACB题型二平面向量的线性运算分析根据所求证的等式，将EF用含AB、DC的和、差形式表示，充分运用加、减法的运算法则完成.证明方法一：在四边形CDEF中，EF+FC+CD+DE=0.①在四边形ABFE中，EF+FB+BA+AE=0.②①+②，得【例2】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：.12EFABDC（）（EF+EF）+（FC+FB）+（CD+BA）+（DE+AE）=0.∵E、F分别是AD、BC的中点，∴FC+FB=0，DE+AE=0，∴2EF=-CD-BA=AB+DC，即.12EFABDC方法二：取以A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图.∵E为AD的中点，∴∵F是BC的中点，∴.又12AEAD12AFABAC111.222112212ACADDCAFABADDCABDCADEFAFABDCADAEABDC举一反三DCOCb,OBa,OA2.如图，在△OAB中,延长BA到C,使AC=BA;在OB上取点D,使,DC与OA交于E;设试用a,b表示向量和向量.BBO31D解析：∵A是BC的中点,∴OA=(OB+OC),即OC=2OA-OB=2a-b.DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.35322132学后反思平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意:(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.(2)注意特殊点的应用.如F点是BC的中点，则（其中A可以是任意一点）.（3）在方法二中，向量的起点A可改取平面内的任意一点O，用同样的方法亦可证出.对于本题结论,要和梯形的中位线定理区分开，梯形的中位线定理只有在AB∥CD时才成立，且得出的是长度关系；而本题结论对于任意平面四边形均成立，且得出的是向量关系，对于长度关系不一定成立（只有在AB与DC共线时成立）.10,2FCFBAFABAC【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.题型三向量的共线问题分析用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用向量共线定理，得到BD=λAB(或AD=λAB等).BD∥AB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合,从而由向量共线推出三点共线.证明∵BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3a-3b=5(a+b),∴BD=5AB.由向量共线定理得BD∥AB.又因为直线AB和BD有公共点B,所以A、B、D三点共线.学后反思(1)向量共线的充要条件中,要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.3.设两个非零向量不共线,已知,若A、B、D三点共线,试求k的值.解析：若A、B、D三点共线,则AB∥BD,从而存在唯一实数λ,使AB=λBD，即∵不共线,∴举一反三12,ee1212122,3,2ABekeCBeeCDee1212122(3)4BDCDCBeeeeee12,ee121224ekeee1224eke整理得20,2,k40,k8,解得即当k=-8时,A、B、D三点共线.题型四向量知识的综合应用分析运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=kc.【例4】(12分)已知向量其中为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线?121212a2e3e,b2e3e,c2e9e,12,ee解要使c∥d,则应存在实数k,使d=kc..............6′即∵不共线,∴∴λ=-2μ.............................10′121212dab2e3e2e3e22e33e...............412121222e33ek2e9e2ke9ke,.............................8222k,339k12,ee故存在这样的实数λ,μ,满足λ=-2μ,能使d与c共线............12′学后反思设不共线,若本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.12,ee11221122eekeke,1122k,k则有举一反三4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA+PB+PC=0,若实数λ满足AB+AC=λAP,求λ的值.解析：∵AB+AC=λAP,∴PB-PA+PC-PA=λAP,即PB+PC-2PA=λAP.又∵PA+PB+PC=0,∴PB+PC=-PA,∴-3PA=λAP=-λPA,∴-3=-λ,即λ=3.【例】下列命题正确的是（）A.向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B.向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C.向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线D.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量易错警示错解一因为向量a与b共线，所以a=b,又因为向量b与c共线，所以b=c，则a=c,向量a与c共线，故选A.错解二因为向量a与b不共线，向量b与c不共线，根据传递性，向量a与c不共线，故选B.错解三因为向量AB与CD是共线向量，所以A、B、C、D四点共线，所以应选C.1212正解解此类题需紧扣定义、条件进行排除，才能快速得到正确结论.选项A中用了非零向量共线的传递性，而条件中没有非零向量的条件，若b=0，结论显然不成立.选项B中向量的不共线是无传递性的，故结论不成立.选项C中向量AB与CD共线，直线AB与CD可能平行，故推不出A、B、C、D四点共线，结论不成立.由此正确选项是D.错解分析错解一中对零向量的认识不到位，忽略了零向量与任意向量共线；错解二中错因是a与c有可能共线；错解三的错因是对向量与点共线在认知上的错位.考点演练10.已知直线x+y=a与圆交于A、B两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中O为坐标原点,则实数a的值为.224xy解析:如图所示,以OA、OB为边作平行四边形OACB,则由|OA+OB|=|OA-OB|得,OACB为矩形,OA⊥OB.由图象得,直线y=-x+a在y轴上的截距为±2答案:±211.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图所示，在中国象棋的半个棋盘（4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量表示马走了“一步”.试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况.1A2A12AAAA、解析：如图，以点C为起点作向量（共8个），以点B为起点作向量（共3个）.12.一艘船以km/h的速度向垂直于岸的方向行驶，而船的实际速度是10km/h，求水流的速度和船行驶的方向（用与水流方向间的夹角表示）.53解析：如右图所示，设AD表示船垂直于对岸行驶的速度，AB表示水流的速度，以AD、ABABCD，则AC表示的就是船实际航行的速度.在Rt△ABC中，|AC|=10，|BC|=，∴|AB|=∵tan∠CAB=,且∠CAB为锐角,∴∠CAB=60°.22100755ACBC533答：水流速度为5km/h，船行驶方向与水流方向的夹角为60°.第二节平面向量的基本定理及坐标表示基础梳理1.两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角θ的范围是,a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向时,夹角θ=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数,使.其中,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.21e,e12e,e不共线的向量非零ab互相垂直不共线0221,aa2211eaeaa(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数,使a=a1e1+a2e2.把有序数对叫做向量a的坐标,记作a=,其中a1叫a在x轴上的坐标,a2叫a在y轴上的坐标.②设OA=xe1+ye2,则就