2011高考数学一轮复习课件：导数的概念及其运算

第十一节导数的概念及其运算1.导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|0.xx00limlimxxyx2.导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝＝.y′f′(x)与f′(x0)相同吗？提示：f′(x)与f′(x0)不相同；f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值.3.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P的切线方程为：.斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝(a0)f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logaxf′(x)＝(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝0nxn－1cosx－sinxaxlnaex5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)[]′＝(g(x)≠0).f(x)′±g′(x)f(x)′g(x)＋f(x)g′(x)6.复合函数的导数[理]设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝，即y′x＝.f′(u)·v′(x)y′u·u′x1.f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()解析：f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝答案：D2.设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()A.k1k2B.k1k2C.k1＝k2D.不确定解析：∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，k1＝cos0＝1，k2＝cos＝0，∴k1k2.答案：A3.函数y＝xcosx－sinx的导数为()A.xsinxB.－xsinxC.xcosxD.－xcosx解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：B4.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为.解析：设P(x0，y0)(x00)，由题意知：－10＝2，∴＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15，∴P点的坐标为(－2,15).答案：(－2,15)5.已知函数f(x)＝则f′(1)f(0)＝.解析：当x0时，f′(x)＝故f′(1)f(0)＝答案：1.根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率(3)得导数f′(x0)＝简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.用定义法求下列函数的导数.(1)y＝x2；(2)y＝【解】(1)因为所以(2)2.xxx1.用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数.解：求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形.求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝(4)[理]y＝sin32x.直接应用导数公式和导数的运算法则求导.【解】(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)[理]y′＝3(sin2x)2·(sin2x)′＝6sin22xcos2x.2.求下列函数的导数：(1)y＝(1－)(1＋)；(2)y＝(3)y＝xex；(4)y＝tanx.解：(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1).(4)y′＝1.函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).【注意】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异；过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.已知曲线y＝(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.(1)在点P处的切线以点P为切点；(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.【解】(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，)，则切线的斜率k＝y′|∴切线方程为y－(x－x0)，即y＝∵点P(2,4)在切线上，∴4＝即＋4＝0，∴＋4＝0，∴(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.3.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上.∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝＋1，∴直线l的方程为y＝(＋1)(x－x0)＋＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(＋1)(－x0)＋＋x0－16，整理得，＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝又∵k＝f′(x0)＝＋1，∴＋1，解之得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).本节内容重点考查导数的几何意义及导数的运算，其形式多为选择、填空题，而难度较小.2009年江西卷就考查了几何意义，出题角度新颖.(2009·江西高考)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A.4B.C.2D.[解析]由条件知g′(1)＝2.又∵f′(x)＝[g(x)＋x2]′＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.[答案]A本题解题关键是利用g′(1)＝2.同学们想一想如何求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处切线的斜率？