高中数学必修1知识总结

1.集合元素的性质:确定性,无序性,互异性(注意检验)2.空集是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集(一定要注意空集的特殊性与等号)3.任何一个集合都是本身的子集4.若一个集合有n个元素,则它有2n个子集有2n-1个真子集ABABABBAABAABBAAAAA(5),(4)(3)(2)(1)则5.交集BBABABABABABBAAABBAAAAAA则)5(,,)4()3()2()1(6.并集UUUUUUABABABABCCCCCC，.,}01|{},023|{.22的值求实数若已知例aABAaaxxxBxxxA.32312121}21{012}2{011}1{.,0}.2,1{}2{}1{,},2,1{aaaaaBaaaBaaaBaBBBBBABABAA或综上所述，时，，当不存在时，当时，当不存在时，当或或或解：40207.同一函数定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数，两者需同时具备．(函数只能是一对一,多对一,不能一对多,映射也如此)8．函数定义域的求法．①分母不为0；②偶次根式被开方数不小于0；③零指数幂中底数不等于零；④实际问题要考虑实际意义等．(5)对数式中真数大于零9．求抽象函数定义域的方法：(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，就是求不等式a≤g(x)≤b的解集．(2)已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g(x)的值域．10．求函数解析式的常用方法：(1)换元法(一换字母二换范围)；(2)待定系数法(函数类型已知)；(3)拼凑法(整体表示(4)方程组法．11．求函数值域的方法：(1)分离常数法；(2)换元法(一换字母二换范围)；(3)单调性法；(4)不等式法．注意（1）二次函数注意利用图像与讨论对称轴与区间的位置关系.（2）分段函数值域是每一段值域的并集.13.函数奇偶性()()()fxfxfx若为奇函数函数图象关于原点对称()()()fxfxfxy若为偶函数函数图象关于轴对称1(1)奇函数若在x=0处有意义则函数值为0(2)偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间上单调性相同(3)奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇*偶=奇奇*奇=偶,偶*偶=偶(4)偶函数上下平移仍为偶函数14．函数的单调性设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，①若f(x1)f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数；②若f(x1)f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数．注意等价定义:利用作差之后相乘大于零,小于零（3）f(x)与1fx单调性相反(f(x)0)（4）f(x)与－f(x)单调性相反．（5）复合函数单调性：同增异减。注意函数定义域增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减判断函数单调性的方法(1)定义法：利用定义严格判断:1设2差3化（目标是相乘相除形式）4断(2)单调性定义域解析式性质奇偶性周期性15.图像(分段函数图像：各个击破)x轴y轴原点y=xy=－xx=a16.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）1()()()()()xRfxfxyfxfyfx如：（），满足，证明为奇函数。（先令再令，……）xyfyx000()（），满足，证明是偶函数。2xRfxfxyfxfyfx()()()()()()()()xytxytfttftt（先令，再令·()()()()()()ftftftftftft∴即221222113()()fxfxxxxfxfxx（）证明单调性：……（1）(na)n＝.（2）当n为奇数时，nan＝；当n为偶数时，nan＝|a|＝.（3）负数没有偶次方根．（4）零指数幂：a0＝(a≠0)．（5）负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)．aaa(a≥0)－a(a＜0)1ap117.根式与指数分数指数幂的意义有理数指数幂的运算性质(1)ar·as=ar+s(a＞0，r,s∈Q)；(2)ar÷as=ar-s(a＞0，r,s∈Q)；(3)(ar)s=ars(a＞0，r,s∈Q)；(4)(ab)r=arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)*(1)(0,,,1)mnmnaaamnZn*11(2)(0,,,1)mnmnmnaamnZnaaa10a1图象性质1.定义域：2.值域：3.过点,即x=时,y=4.在R上是函数在R上是函数(,)(0,)(0,1)01增减18.指数函数y=ax(a0,且a≠1）的性质：yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o当x0时,0y1.当x0时,0y1.当x0时,y1.当x0时,y1.第一象限图象从下到上,底数逐渐变大.xoyxyaxybxycxydxoyxyaxybxycxydx=1xoyxyaxybxycxydxoyxyaxybxycxydx=1x=101badcy=ax(1)定义：ab=N⇔b=______(及变形公式)(5)(6)loga(MN)=_______________.((7)=________________.(8)logaMn=____________.(真互倒,值互反)logaMNnlogaMlogaNlogaM+logaNlogaM-logaN(2)负数和零没有对数；(3)1的对数是零，即loga1=0；(4)底数的对数等于1，即logaa=119.对数010logNaaNaNa，且(9)对数的换底公式及对数的恒等式①alogab=________(对数恒等式)．②logab=________(换底公式,变成乘法)．③=________.④logab=________.(底真互换,值互为倒数)常用对数：以10为底的对数叫做________，a的常用对数记作________．自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数叫做________，N的自然对数记作________．bloglogccbaloganbmb1logalnN常用对数lgN自然对数nabogml20.对数函数的图象与性质a10a1图象定义域：值域：性质当0x1时，y∈_______；当x1时，y∈______当x1时，y∈______当0x1时，y∈___；定点当x=1时，y=0即过定点单调性在(0，+∞)上为____函数在(0，+∞)上为____函数增(0，+∞)(0，+∞)RR(1,0)(-∞，0)(0，+∞)(0，+∞)(-∞，0)减第一象限,从左到右底数依次增大1log,logxaayxy底数互为倒数的两个对数函数的函数图像关于x轴对称。当a1时，a值越大，y=logax的图像越靠近x轴；当0a1时，a值越大，y=logax的图像越远离x轴。函数性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域值域奇偶性单调性公共点21.幂函数的性质((1)正增负减,大竖小横，然后再利用奇偶性(2)所有幂函数均过第一象限,均不过第四象限(3)均过(1,1),当指数大于0时还过(0,0))21xyRRR[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)增[0,+∞)(0,+∞)减(-∞，0]减(-∞，0)减RR奇奇奇增增增偶非奇非偶{x|x≠0}{y|y≠0}(1,1)22.比较大小：先以0为分界线，正的再以1为分界线（利用指对函数的函数值特征），主要是构造指对函数及幂函数（变化的地方就是自变量x的地方，不变的地方保留），利用指对幂函数的单调性23.零点问题(1)函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的根也是y=f(x)的图像与X轴交点的横坐标.是一个确定的数(2)y=f(x)—g(x)零点个数就是f(x)—g(x)=0根的个数就是f(x)=g(x)根的个数就是y=f(x)与y=g(x)图像交点个数(3)y=f(x)图像是连续不断的曲线若f(a)f(b)＜0则y=f(x)在[a,b]存在零点.但零点个数不知.(4)若f(a)f(b)＞0,则y=f(x)在[a,b]上可能有也可能没有零点(5)若y=f(x)在[a,b]存在零点也不一定有f(a)f(b)＜0