高中数学必修4第一章三角函数完整教案

四、作业：4-1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为,,abasinAcosAtanAccb．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin，即sinyr；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cos，即cosxr；（3）比值yx叫做α的正切，记作tan，即tanyx；（4）比值xy叫做α的余切，记作cot，即cotxy；（5）比值rx叫做α的正割，记作sec，即secrx；（6）比值ry叫做α的余割，记作csc，即cscry．说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)Pxy在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2kkZ时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyx与secrx无意义；同理，当()kkZ时，xcoyy与cscry无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx、xy、rx、ry分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。2．三角函数的定义域、值域函数定义域值域sinyR[1,1]cosyR[1,1]tany{|,}2kkZR注意：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合(2)α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.3．例题分析例1．已知角α的终边经过点(2,3)P，求α的六个函数制值。解：因为2,3xy，所以222(3)13r，于是3313sin1313yr；2213cos1313xr；3tan2yx；2cot3xy；13sec2rx；13csc3ry．例2．求下列各角的六个三角函数值：（1）0；（2）；（3）32．解：（1）因为当0时，xr，0y，所以sin00，01cos，tan00，cot0不存在，sec01，csc0不存在。（2）因为当时，xr，0y，所以sin0，cos1，tan0，cot不存在，sec1，csc不存在。（3）因为当32时，0x，yr，所以3sin12，3cos02，3tan2不存在，3cot02，3sec2不存在，3csc12．例3．已知角α的终边过点(,2)(0)aaa，求α的六个三角函数值。解：因为过点(,2)(0)aaa，所以5||ra，,2xaya当22250sin55||5yaaaraa时，；5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc22；当22250sin55||5yaaaraa时，；5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc22．4．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0yr），对于第三、四象限为负（0,0yr）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0xr），对于第二、三象限为负（0,0xr）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,xy同号），对于第二、四象限为负（,xy异号）．说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。cscsin为正全正cottan为正seccos为正5．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：sin(2)sink，cos(2)cosk，其中kZ．tan(2)tank，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．三、巩固与练习1确定下列三角函数值的符号：（1）cos250；（2）sin()4；（3）tan(672)；（4）11tan3．2求函数xxxxytantancoscos的值域解：定义域：cosx0∴x的终边不在x轴上又∵tanx0∴x的终边不在y轴上∴当x是第Ⅰ象限角时，0,0yxcosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2…………Ⅱ…………,0,0yx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2…………ⅢⅣ………,0,00,0yxyx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0四、小结：本节课学习了以下内容：1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。五、课后作业：补充：1已知点P(3,-4)rr(0)r，在角的终边上，求sin、cos、tan的值。2已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值解：由定义：5rsin=53cos=54∴2sin+cos=52六、板书设计：4-1.2.1任意角的三角函数（2）正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oooxyxyxy教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。授课类型：新授课教学模式：讲练结合教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．三角函数的定义及定义域、值域：练习1：已知角的终边上一点(3,)Pm，且2sin4m，求cos,sin的值。解：由题设知3x，ym，所以2222||(3)rOPm，得23rm，从而2sin4m23mmrm，解得0m或216625mm．当0m时，3,3rx，cos1,tan0xyrx；当5m时，22,3rx，615cos,tan43xyrx；当5m时，22,3rx，615cos,tan43xyrx．2．三角函数的符号：练习2：已知sin0且tan0，（1）求角的集合；（2）求角2终边所在的象限；（3）试判断tan,sincos222的符号。3．诱导公式：练习3：求下列三角函数的值：（1）9cos4，（2）11tan()6，（3）9sin2．二、讲解新课：当角的终边上一点(,)Pxy的坐标满足221xy时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。1．单位圆：圆心在圆点O，半径等于单位长的圆叫做单位圆。2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。3．三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMOA．我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。说明：①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4．例题分析：例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）3；（2）56；（3）23；（4）136．解：图略。例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：oxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）132sin与54sin2tan32与tan543cot32与cot54解：如图可知：32sin54sintan32tan54cot32cot54例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角1sin≥212tan33解：1230≤≤1503090或210270例4．利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围。（1）1sin2x；（2）1cos2x；（3）10,sin2xx且1cos2x；（4）1|cos|2x；（5）1sin2x且tan1x．答案：（1）71122,66kxkkZ；（2）22,66kxkkZ；（3）5,36xkZ；（4）,6262kxkkZ；（5）322,24kxkkZ．三、巩固与练习四、小结：本节课学习了以下内容：1．三角函数线的定义；2．会画任意角的三角函数线；3．利用单位圆比较