《利用导数求参数范围》复习课

目录新津县华润高中刘定先目录不等式恒成立问题（任意性）与能成立问题（存在性）是历年高考的亮点；单变量的任意性和存在性问题已经向双变量发展；利用函数导数的单调性、极值、最值求参数的取值范围是近几年高考命题的重点，试题难度较大。目录学习目标：1.会利用导数求参数在区间上时参数取值范围。2.会利用导数求参数在函数表达式上时参数取值范围。目录0)(),(1xfba内：在区间问题单调递增)(xf上单调递增在),()(baxf增函数上是在又的增区间是：问题),()(),,()(2dcxfbaxf),(),(badc上恒成立在),(0)(baxf轴上）轴上方的图像始终在xxxf()(类型（一）：求参数放在区间上时参数的取值范围目录类型（一）：求参数放在区间上时参数的取值范围在区间(,21)aa上单调递减，求则a的取值范围例１.已知32()39fxxxx23121),3,1()12,3,1-)(,31-0963)(2aaaaaxfxxxxf，解得且即（），（的单调减区间为即，解得解：总结1：若函数f(x)（不含参数）在（a,b)（含参数）上单调递增（递减），则可解出函数f(x)的单调区间是（c,d),则),(),(dcba目录常见类型•1、利用方程根的分布求参数取值范围2、利用函数的单调性、极值情况求参数范围4、恒成立与存在性问题利用最值思想求参数范围3、分离参数构造新函数法求参数范围类型（二）：求参数放在函数表达式上时参数的取值范围目录）内有变号零点在（解析：3,2363)(2axxxf有且仅有一零点)1(0)3()2(ff有两变号零点)2(233545a解得的取值范围至少有一个极值点，求）中在（、已知函数例axaxxxf3,2133)(2231、利用方程根的分布求参数取值范围0)3(0)2(09436322ffaa目录总结2：能够利用方程根的分布求参数取值范围，通常其导数是二次方程或可化为二次方程的形式，要从对称轴、判别式、区间端点的函数值几方面来考虑。0)(xf目录例3函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．（1）若f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．（2）若f(x)在间(0,1]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．解、(1)f′(x)＝2x＋a－1x.∵f(x)在区间(0,1]上是减函数∴f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立，即2x＋a－1x≤0对任意x∈(0,1]恒成立，∴a≤1x－2x对任意x∈(0,1]恒成立．令g(x)＝1x－2x，∴a≤g(x)min，易知g(x)在(0,1]单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－1.∴a≤－1.2、目录小结：已知函数的单调性，求参数的取值范围，转化为f′(x)≥0[或f′(x)≤0，x∈(a，b)]恒成立或有解，求出参数的范围。解、(2)f′(x)＝2x＋a－1x.∵f(x)在区间(0,1]上存在递增区间∴f′(x)0在x∈(0,1]有解即2x＋a－1x0在x∈(0,1]有解∴a1x－2x在x∈(0,1]有解令g(x)＝1x－2x，∴ag(x)min，易知g(x)在(0,1]单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－1.∴a－1.目录总结3、分离参数法•恒成立问题和存在性问题求参数范围时，当参数的系数符号确定时，可以先考虑分离参数，进而求另一边函数的最值。•（1）若a＞f(x)恒成立，即a＞f(x)max，•若a≤f(x)恒成立，即a≤f(x)min.•（2）若a＜f(x)有解，即a＜f(x)max，•若af(x)有解，即af(x)min.目录变式：已知函数f(x)＝ax2－ex，a∈R.若f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求实数a的取值范围．解若f(x)有两个极值点，则方程f′(x)＝0的两个根．f′(x)＝2ax－ex＝0，显然x≠0，故2a＝exx.令h(x)＝exx，则h′(x)＝x－1exx2.若x＜0，则h(x)单调递减，且h(x)＜0.若x＞0，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在(0,1)上递减，当x＞1，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上递增，h(x)min＝h(1)＝e.要使f(x)有两个极值点，则2a＝exx在(0，＋∞)上有两个不同解，故2a＞e，即a＞e2，故a的取值范围为e2，＋∞.目录例4、定义在R上的函数g(x)及二次函数h(x)满足：g(x)＋2g(－x)＝ex＋2ex－9，h(－2)＝h(0)＝1且h(－3)＝－2.(1)求g(x)和h(x)的解析式；(2)对于∀x1，x2∈[－1,1]均有h(x1)＋ax1＋5≥g(x2)－x2g(x2)成立，求a的取值范围．3、利用最值思想求参数范围目录解(1)∵g(x)＋2g(－x)＝ex＋2ex－9，①g(－x)＋2g(x)＝e－x＋2e－x－9，即g(－x)＋2g(x)＝2ex＋1ex－9，②由①②联立解得：g(x)＝ex－3.∵h(x)是二次函数，且h(－2)＝h(0)＝1，可设h(x)＝ax(x＋2)＋1.由h(－3)＝－2，解得a＝－1，∴h(x)＝－x(x＋2)＋1＝－x2－2x＋1.∴g(x)＝ex－3，h(x)＝－x2－2x＋1.目录(2)设φ(x)＝h(x)＋ax＋5＝－x2＋(a－2)x＋6，F(x)＝g(x)－xg(x)＝ex－3－x(ex－3)＝(1－x)ex＋3x－3.依题意知：当x∈[－1,1]时，φ(x)min≥F(x)max.∵F′(x)＝－ex＋(1－x)ex＋3＝－xex＋3，易知F′(x)在[－1,1]上单调递减，∴F′(x)min＝F′(1)＝3－e＞0，∴F(x)在[－1,1]上单调递增，∴F(x)max＝F(1)＝0.∴φ－1＝7－a≥0，φ1＝a＋3≥0，解得－3≤a≤7.∴实数a的取值范围为[－3,7]．目录•变式、已知函数f(x)＝x3－3x＋2，•g(x)＝－x2＋2x＋m，若对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＜g(x2)．求实数m的取值范围．∴f(x)在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，∵f(0)＝2＜f(2)＝4，∴f(x)max＝4.又g(x)＝－x2＋2x＋m在区间[0,2]上，g(x)max＝g(1)＝m＋1，由已知对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＜g(x)2，则有f(x)max＜g(x)max.则4＜m＋1，∴m＞3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).解、f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．目录•含参数的不等式恒成立、存在性问题•(1)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)min≥g(x)min；•(2)∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，都有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)min≥g(x)max；•(3)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)max≥g(x)min；•(4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)max≥g(x)max.•总结4目录