北邮 复变函数课件 第一章--1

1教师：李叶舟2“复变函数论”是研究自变量为复数的函数的基本理论及应用的数学分支.世界著名数学家M.Kline指出：19世纪最独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。3•16世纪，解代数方程时引入复数(笛卡尔，韦塞尔，阿尔冈)•17世纪，实变初等函数推广到复变数情形•18世纪，逐步阐明复数的几何、物理意义。（达朗贝尔，欧拉）20世纪19181716历史背景()()ux,yivx,y+流体力学4•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映射性质•20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方面有重要成果。单值函数复变函数论多值函数几何理论5空气动力学流体力学电学热学•复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等领域有重要应用（“*”内容）。复变函数论我们的主要任务是学习单值解析函数的基本性质、运算,包括微分、积分等。6第一章复数与复变函数7§1-3复数及其运算主要介绍关于复数的基本概念，包括复数的定义、表示方法、运算法则、基本不等式的应用812i一复数的概念及表示法.的数称为复数或形如iyxzyixz,,的实部和虚部为实数，分别称为其中zyx).Im(),Re(zyzx记作;,0,0称为纯虚数时当iyzyx.,0,0xixzy我们把它看作实数时当212121yyxxzz且定义:设复数复数iyxz111iyxz222则复数相等两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等（求解复方程的基础）9实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,.zz的共轭复数记为.,iyxziyxz则即：若共轭复数10的四则运算两个复数222111iyxziyxz,（1）两个复数的和与差)()(212121yyixxzz（2）两个复数的积)()(2112212121yxyxiyyxxzz（3）两个复数的商222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz2221zzzz全体复数并引进上述运算后就称为复数域，常用C表示。推导运算（3）22特别zzxy11复数运算的性质;)1(1221zzzz;1221zzzz321321321321)()()()()2(zzzzzzzzzzzz3121321)()3(zzzzzzz;)4(2121zzzz;2121zzzz;2121zzzz;)5(zz222(6)Re()Im()||;zzzzz).Im(2),Re(2)7(zizzzzz12例1解,131iiiz设.)Im(),Re(zzzz与求iiiz131)1)(1()1(3iiiiiii,2123i,21)Im(,23)Re(zz22)Im()Re(zzzz222123.2513二、复数的表示方法（1）定义表示形式给定复数，则确定了实部x和虚部y；反过来，给定实部x和虚部y,复数与一对有序实数（构成了一一对应关系。则完全确定了复数z,这样，z=x+iyzx,y).,iyxzziyx即表示复数用.),不加区别与（因此，yxiyx14.,.轴纵轴叫虚轴或轴轴叫实轴或通常把横面叫复平面这种用来表示复数的平yx.(),(如图）表示可以用平面上的点复数yxiyxz（2）复数的平面表示法如图）上的点表示中平面可以用平面直角坐标系我们知道，(),(yx),(yxxyxyoiyxz15,的模或绝对值该向量的长度称为z.22yxrz记为xyxyoiyxzPr显然成立：,zx,zy.zxy表示也可用复平面上的向量复数OPiyxz（3）复数的向量表示法.性：长度、方向向量具有两个重要的属注意：复数与向量的一一对应使复数的加减运算与向量的加减运算保持一致111zxiyxyo222zxiy12zzz16和与差的模的性质;2121zzzz12.(1)12z-zzz,2121故之间的距离和表示点因为zzzz1z2z21zzxyo2z.实轴对称的复平面内的位置是关于在和一对共轭复数zz共轭复数的几何性质1z例证明式(1)成立xyoiyxziyxz17.Arg,)(arg0zumentzOPz记作的辐角的夹角称为时，则把正实轴与向量当注意1,0有无穷多个辐角任何一个复数z,1是其中一个辐角如果)(π2Arg1为任意整数kkz的全部辐角为那么z,0时当z辐角不确定，没有辐角.注意2复数辐角的定义辐角主值的定义.arg,Argππ,)0(000zzz记作的主值称为的把满足的辐角中在kzArgz2arg,2,1,0k如何确定辐角？已知复数,iyxz18)2arctan2(xy其中辐角的主值0zzargx=0,y0,x0,y0,.x=0,y0,0x,arctanxyπ,2yarctan+π,xyarctan-π,xx0,y0,例2求下列复数的幅角(1)z=-12-2i;(2)z=-3+4iπ,219即00zz212121argarg0zzzzzz且注：非实数的复数不能比较大小，但模可以比较大小。212121yyxxzz且定义:设复数复数iyxz111iyxz222则两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等20利用直角坐标与极坐标的关系sincosryrx复数可以表示成(cossin)zxiyri（4）复数的三角表示法利用Euler公式irez（5）复数的指数表示法可以表示为：则复数)sin(cosirz,sincosiei21例2将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1(iziz1sin11(3)coszi22例2将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1(iziz解zr)1(,4412,在第三象限因zπ122arctan33arctan,65故65sin65cos4iz.465ie235cos5sin)2(iz,1zr显然52cos5sin,103cos52sin5cos,103sin故103sin103cosiz.103ie1sin11(3)coszi2222(1sin1)cos12(1sin1)121cos(1)4cos()242zcos11arg1sin142zarctg24乘幂与方根的三角形式分别为和设复数21zz,sin(cos1111）irz,sin(cos2222）irz)sin(cos)sin(cos22211121irirzz)]sincoscos(sin)sinsincos[(cos2121212121irr)]sin()[cos(21212121irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz212121zzrrzz两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.25的指数形式分别为和设复数21zz,111ierz.)(212121ierrzz则,222ierzn个复数相乘的情况:nzzz21),,2,1(,)sin(cosnkerirzkikkkkk设)]sin()[cos(212121nnnirrr.)(2121ninerrr121222zz：几何说明所对应的向量是把z所对应的向量伸缩r=|z|倍，然后再旋转一个角度=argz得到26221223232122()izzzzez为直角顶点的充要条件为:向量zz绕z旋转,即得向量z,也就是z两端平方化简证,即得证.例7123222212321322若，，为等腰直角三角形的三个顶点，则为直角顶点的充要条件为（）zzzzzzzzzz27n次幂.,nznzzn记作次幂的的乘积称为个相同复数.个nnzzzz.)sin(cos:,ninrznnn有对任一正整数.,,1上式仍成立为负整数时则当若定义nzznn,sincos,1izz即时特别，当nininsincos)sin(cosdeMoivr公式28例解.)1()1(nnii化简ii2222214sin4cos2iii2222214sin4cos2i11()()nnii()442cossinnninni4sin4cos)2(4sin4cos4sin4cos)2(ninninn.4cos222nn29同样，,02时当z,2121zzzz.ArgArgArg2121zzzz))sin()(cos(121212122222121izzzzzzzzz))sin()(cos(212121izz于是30例解,3sin3cos1iz因为,6sin6cos2iz63sin63cos21izz所以,i63sin63cos21izz.2123i.2121zzzz和求,3cos3sin),31(2121iziz已知31对于非零复数有：2121zzzz0,22121zzzzz)Arg()Arg()Arg(2121zzzz)Arg()Arg()Arg(2121zzzz总结：1221121122+=0Ozx+iyOzx+iyzzzz试证：向量=与=互相垂直的充要条件是例1212112122211222argarg2iozozozozzzzzezzzzizz：与即证明的夹角为321221121122+=0Ozx+iyOzx+iyzzzz试证：向量=与=互相垂直的充要条件是例12122ozozozoz：与证明的夹角为1122zzizz12argarg2zz,即11222izzezz两边平方得2112+=0zzzz另证：222121212||||||ozozzzzz222121212121212||()()||||()zzzzzzzzzzzz又2112+=0从而zzzz33,次方根的的根称为，方程给定复数nzzwznnkinkrzwnnkπ2sinπ2cos1)1,,2,1,0(nk可以推得:n次方根.nz记为1=2kπ2kπiiinnnnnreere，即-通常设为主值。34从几何上看,,个值就是以原点为中心的nzn.1个顶点边形的为半径的圆的内接正nnrn35例38计算