22拓扑学教案4

12.3拓扑空间中几个平行于分析数学的基本概念本节为教材2.3，2.4和2.5三节合并在一起，主要目的是将数学分析（度量空间）中的基本概念与拓扑学中的概念作以比较。一、度量空间中的几个基本概念⑴邻域（开球）(,)Bx：在实分析中，邻域是有半径的开集。它在分析学中起着重要的作用，许多分析学的概念都有它来定义。下面给出一个度量空间球形邻域的例子。例[,]Cab表示区间[,]ab上的连续函数全体，,[,]fgCab，定义两个函数f和g的距离(,)max()()axbdfgfxgx令()([,])hxkxab，则关于()hx的球形邻域(,)Bh如下图所示。⑵内点——设A是(,)Xd的一个子集，若xA且存在点x的一个邻域(,)BxA，则称x是A的一个内点。说明：内点x是这样的点，它自身属于A，并且它“近旁”的一切点都属于A。⑶外点——若CxA，且存在一个邻域(,)CBxA，则称x是A的一个外点。说明：A的外点x自身不属于A，而且它存在一个邻域的也不属于A，它是CA的内点。⑷边界点——若xX,x既非A的内点，也非A的外点。或者说，对于任何0，(,)Bx与A和CA的交均非空，则称x是A的一个边界点。⑸内部——A中所有内点的全体称为A的内部，记为intA或()iA.⑹外部——A的外点全体。⑺边界——A的所有边界点全体，记为()bA或A。⑻开集——如果A中的每一点都是A的内点，即intAA。例如：开区间(,)ab是R中的一个开集；开圆盘是2R中的一个开集；A外点边界点内点KK+εK-εa0bXY2一般的，任意n维开球是nR中的开集（但开集未必是开球）。此外，整个nR当然是nR中的开集。约定：空集也是开集。⑼闭集——若CAXA是X中的开集，则称A是X中的闭集。⑽聚点——设A是(,)Xd的一个子集，xX，若0，有(,)({})BxAx则称x是A的一个聚点（或极限点）。说明：①注意，聚点本身可能属于A，亦可能不属于A。②A的内点一定是A的聚点，A的外点一定不是聚点。③如果x是A的一个聚点，那么必存在一列nxA（n=1，2，…），nxx，使nxx，这表明在A内存在一列点积聚在x周围，即谓之“聚”也。问题：A的边界点是不是A的聚点呢？（不一定，有可能是孤立点）⑾导集——A的所有聚点全体之集合，称为A的导集，记为()dA。⑿闭包——()AAdA称为A的闭包。例如：直线上(,)ab的闭包是[,]ab。⒀稠密子集——若AX，则称A为(,)Xd的稠密子集，或称A在(,)Xd中是稠密的。例如，有理数集在R上稠密。⒁疏子集(疏朗集)——若intA，称A为(,)Xd的疏子集。例如，设{1,12,13,,1,}An，有0A，但是，0是A的聚点，又IntA，则A是1E的疏子集。⒂孤立点——若xA，但不是A的聚点，即存在使得(,){}BxAx则称x是A的孤立点。思考：1）xA，也不是A的聚点，x是A的什么点？（答：外点）2）孤立点与边界点关系？（答：是边界点）⒃完全集——若A是无孤立点的闭集，则称A为(,)Xd的完全集。二、拓扑空间中的相关概念的定义（1）开集——在拓扑空间中，对开集不再另行定义，而将拓扑中的元素称为开集，这是公理性定义。我们在邻域概念中回避半径（度量），将含点x的集合称为x的邻域。于是有如下定义：（2）邻域——设(,X)为拓扑空间，,xXU为X的子集。若存在一个包含x的开集V（注：V是中的元素），且xVU，则称U为x的邻域。注：由定义知，开集（即拓扑中的元素）本身也是所含元素的邻域。邻域可以不是开集，即邻域U可以不在拓扑中，但它要含有开集。3▲定义：凡是包含x的开集（中的元素）均为x的邻域，称为点x的开邻域。（注意：开邻域与邻域的区别）▲定义：点x的所有邻域构成X的子集族，称为点x的邻域系。定理1（2.3.1）：拓扑空间X的子集U是开集U为其每一点的邻域。即xU，有U为x的邻域。证明：（必要性）由邻域的定义，这是显然的。（充分性）设U为其每一点的邻域，于是，xU，存在开集xV使得xxVU。(注：拓扑空间开集使用公理给出的，所以此条件还不能证明U是开集)由xVU，有xxUUV。因为xV是开集，故U是开集.重点理解该定理的意义：对于(,X)中的子集U，有U是非空开集U是其每一点的邻域下面关于邻域的结论是明显的（定理2.3.2）。X是拓扑空间，xX，xU为x的邻域系：①,xxXU；解释：至少X是x的邻域。②若xUU，则xU；解释：由定义给出。③若,xUVU，则xUVU；解释：若,xUVU，则存在xu,且xuU，同时存在xv,且xvV，于是有xxuvUV，根据拓扑公理（2），有xxuv，故xUVU.④若xUU，且UV，则xVU；解释：由定义给出。⑤如果xUU，则存在xVU满足：).aVU)b.对于任一,yyVVU.解释：若xUU，则由定义，存在xxu，有xuU，只要取xVu即可。于是对于任意yV，由于V，则yVU.由邻域系出发可建立拓扑空间的理论,显得自然,但不流行.利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集,从Ux)(Xx具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发,定义UUxXU,{Ux},则),(X是拓扑空间,且这空间中每一点x的邻域系恰是Ux.详见定理2.3.3.定义2.3.2(点连续)映射YXf:称为在点xX连续,如果U是f(x)在Y中的邻域,则f-1(U)是x在X中的邻域.定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致.4另一方面,关于点的连续性,易验证(定理2.3.4),恒等映射在每一点连续,两点连续的函数之复合仍是点连续的.定义2.2.4与定义2.3.2所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理2.3.5设YXf:则f连续f在每一xX连续.证“”若U是f(x)的邻域,开集V使UVxf)(,x)()(11UfVfx“”若U是Y的开集,)(1Ufx,U是f(x)的邻域,f-1(U)是x的邻域,所以f-1(U)在X中开.（3）闭集——拓扑空间X的一个子集A称为闭集，若CA是开集。注释：ⅰ、由于,CCXX，则,X也是闭集；平凡拓扑空间{,}X也是闭集构成的。ⅱ、在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，于是，也都是闭集。上述说明，我们不能用欧氏空间中开、闭集的概念来理解拓扑空间中相应的概念。拓扑的定义是逻辑的，不是分析的。（4）内点——A是(,X)的子集，xA，若存在开集U（即中元素）使得xUA，则称x是A的一个内点。（5）内部——A的所有内点的集合，记为intA或()iA。（6）聚点——A是(,X)的子集，xX，若x的每一邻域U中都含有{}Ax中的点，则称x是A的一个聚点（或极限点）。（注：用x的邻域而不是开集,因为{}x也是开集）（7）导集——A的所有聚点的集合，称为A的导集，记为()dA或A。（8）闭包——称()AAdA为A的闭包。（9）稠密集——若AX，则称A关于X是稠密的。▲如果X有可数的稠密子集，称X是可分的拓扑空间。注：实数集R是可分的，因为存在可数的有理数集Q，且QR.(Q关于R是稠密的)思考题：①余有限拓扑(,Rf)是可分的。注释：xQ（有理数），有{}Cx，且{}Cx是Q中任何非x的点的邻域。②余可数拓扑(,RC)是不可分的。注释：C中的开集是可数集的余，即可数集是闭集，它的闭包是自身，则不是稠密的。三、拓扑空间上集合的一些重要性质5▲性质1（关于闭集的性质）拓扑空间的闭集满足（1）X与是闭集；（2）任意多个闭集的交是闭集；（3）有限多个闭集的并是闭集。证明：（1）已经证过；（2）和（3）可用开集的公理（2）和（3）经摩根律得出。▲性质2（关于内点的性质）设,AB是拓扑空间的子集，有①若AB，则intintAB；②intA是包含在A中的所有开集的并集，因此，是包含在A中的最大开集；③intAAA是开集；④int()intintABAB；⑤int()intintABAB.证明：①(提示：只要证明A的内点一定是B的内点)设x是A的内点，则存在开集U，使得xUA；又AB,则必有UB，于是，x也是B的内点。故intintAB.②设{}U是包含在A中的所有开集构成的子集族。提示：我们只要证明intAU即可(等式两侧互相包含)首先，,UA，于是，对于xUA，x是A的内点，即U中所有点x均是A的内点。故有intUA,于是intUA.又，若intxA，则必有一个开集U，使得xU.故对intA中的所有x，有intUA,所以，有intAU。(并且intA是开集)③()根据②，任意开集的并是开集，则intA是开集。又intAA，故A是开集。()又，设A是开集，由②知，A是包含在自身内的最大开集，于是有intAA.(intA是A中开集的并)。④一方面，由于()ABA，根据①，有int()intABA；又()ABB，则有int()intABB，故得到int()intintABAB。另一方面，由intAA且intBB，则有intintABAB,而由①有int()int(intint)intintABABAB所以，有int()intintABAB。⑤因为intAA且intBB，则有intintABAB.根据②，int()AB是包含在AB中的最大开集，故有int()intintABAB。▲性质3（关于闭包的性质）设,AB是拓扑空间的两个子集，有（1）若AB，则AB；6（2）A是所有包含A的闭集的交集，故A是包含A的最小闭集；（3）AAA是闭集；（4）ABAB；（5）ABAB；（6）A与B互余，则A与intB互余。（即()intCAB）证明：（1）~（5）留给同学们作为作业，可仿性质2的证明。下面仅证明（6）.（思路：()int,CxAxB即intxAxB）xA，意味着x的任一邻域与A都有交点，于是()CxAx有邻域与A不相交x有邻域包含于B中（因为B是A的余）x是B的内点。上式说明：()CA中的点都是intB中的点，故()intCAB。综合总结：①由上述性质可知，拓扑空间的闭集、内点、闭包等概念的性质与欧氏空间中相应概念的性质是一致的。②但是，有些概念也是有区别的，如：聚点的概念。拓扑空间的聚点与欧氏空间聚点意义有不同之处：●在欧氏空间中，集合A的聚点x近旁聚集了A的无穷多个点（无论球形邻域的半径有多么小），因而，有限集没有聚点。（当半径小于某个界限时，x的邻域内不会有A中的其他点）●在拓扑空间中，例如，设{,,}Xabc，规定拓扑{,,{}}Xa。当令集合{}Aa时，b和c都是集合A的聚点。因为X是b和c的邻域，b和c的邻域中都有点a。●但是，a不是A的聚点，因为{}Aa。（注：在该拓扑中，点a只有两个邻域{,,}abc和{}a）