华侨大学2010-2013年高数A下期末试卷集锦

A卷1华侨大学本科考试卷2012—2013学年第二学期（A）学院课程名称高等数学A（二）考试日期2013年7月5日姓名专业学号大题一二三四五六七总分小题12345得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上，答在其它地方不给分！）1、平面260xyz−+−=与250xyz++−=的夹角θ=2、设．2sin2zxy=，则(1,0)dz=．3、已知21(2ln)zfyx=+，f可微，则3zzxyxy∂∂+=∂∂4、设．L为直线yx=及抛物线2yx=所围成的区域的整个边界，则曲线积分Lxds∫的值为．5、设L为椭圆周223412xy+=，则曲线积分22Lxydxxdy+∫的值为．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：班级、姓名、学号.二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2223023540xyzxyz++−=−+−=在点(1,1,1)处的切线及法平面方程．2、设D是由半圆周22yaxx=−(0)a及x轴所围成的闭区域，求二重积分2224DIaxydxdy=−−∫∫．3、求微分方程2109xyyye′′′−+=的通解．A卷24、设Γ是从点(3,2,1)A到点(0,0,0)B的直线段，计算曲线积分3223xdxzydyxydzΓ+−∫．5、设0zxyezee+−−=，求zx∂∂，2zxy∂∂∂．三、（本题满分9分）判断级数11(1)tannnn∞=−∑是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛？四、（本题满分10分）求圆柱面222xyR+=与222xzR+=（0R）所围成的立体的表面积A和体积V．五、（本题满分10分）利用高斯公式，计算曲面积分2()zydxdyxdydzΣ+−∫∫，其中Σ是曲线0zyx==（01y≤≤）绕z轴旋转一周而成的曲面，其法向量与z轴正向的夹角恒大于2π．六、（本题满分10分）求幂级数114nnnxn−∞=∑的收敛域与和函数．七、（本题满分6分）设11(ln)ennnaxdxb=∫，其中0nb，且lim1nnbnα→+∞=，常数12α．证明：级数1nna∞=∑收敛．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。B卷1华侨大学本科考试卷2012—2013学年第二学期（B）学院课程名称高等数学A（二）考试日期2013年7月5日姓名专业学号大题一二三四五六总分小题123456得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上，答在其它地方不给分！）1、直线10,10xyzxyz+−−=−++=在平面0xyz++=上的投影平面方程为2、（选择题）下列说法是正确的有.．（A）、22(,)(0,0)2lim0xyxyxy→=+；（B）、若(,)fxy在点00(,)xy的偏导数存在，则0000(,)(,)xxxdfxyfxydx==；（C）、若(0,1)xfA=,且(,)(,)fyxfxy=−，则(1,0)yfA=−；（D）、若(,)fxy在点00(,)xy处可微分，则22(,)(0,0)lim0()()xyzdzxy∆∆→∆−=∆+∆.3、设函数(,)fuv具有二阶连续的偏导数，2(,)zfyxy=，则2zxy∂=∂∂．4、设f连续，化二次积分为极坐标形式的二次积分：230(arctan)xxydxfdyx=∫∫．5、设()fx是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ−上的表达式为1,0()1,0xfxxππ−−≤=≤，则该函数的傅里叶级数在点3xπ=处收敛于，在3x=处收敛于．B卷2※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：班级、姓名、学号.二、解下列各题：（本题共6小题，每小题7分，满分42分）1、在曲面zxy=上求一点，使这点处的法线垂直于平面390xyz+++=，并写出这法线方程．2、设函数()ft具有二阶连续的导数，(sin)xzfey=满足方程22222xzzzexy∂∂+=∂∂，求()ft．3、计算221Dyxydxdy+−∫∫，其中D是由直线1yxx==−、和1y=所围成的闭区域．4、求锥面222zxy=+被柱面222xyy+=所割下有限部分的曲面面积．5、计算曲线积分22()(sin)Lxydxxydy−−+∫，其中L是圆周22yxx=−上由点(0,0)O到点(1,1)B的一段弧．6、将函数()arctan2fxxπ=+展开成x的幂级数．三、（本题满分11分）求三重积分22()xyzdvΩ++∫∫∫，其中Ω是由曲线220yzx==绕z旋转一周而成的曲面与平面4z=所围成的立体．四、（本题满分11分）计算曲面积分333IxdydzydzdxzdxdyΣ=++∫∫，其中Σ为球面2222(0)xyzRR++=的外侧．五、（本题满分11分）求幂级数135nnnnxn∞=+∑的收敛域．六、（本题满分5分）设球面Σ的方程为：222222220xyzaxayaza++−−−+=，常数0a．证明：24(3)36xyzadSaπΣ++−≤∫∫．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。华侨大学2012－2013学年第二学期2012级高等数学A(二)期末考试试题【A卷】参考答案与评分标准-1-华侨大学本科考试卷2012—2013学年第二高等数学A（二）期末考试试题【A卷】学期参考答案与评分标准（20130705）一.填空题【共5小题，每小题4分，共20分】1、3π；2、2dy；3、0；4、()15516212−+；5、0．二.试解下列各题【共5小题，每小题7分，共35分】1、解：将所给方程两边对x求导，得22202350dydzxyzdxdxdydzdxdx++=−+=，将点(1,1,1)代入，解方程组求得35(1),(1)88yz′′=−=−于是，可取曲线在(1,1,1)处的切向量(8,3,5)T=−−………………………………………….…….【5】从而，所求的切线方程为111835xyz−−−==−−法平面方程为8(1)3(1)5(1)0xyz−−−−−=，即8350xyz−−=．……………………【7】2、解：2cos222004aIdadπθθρρρ=−∫∫……【4】33208(1sin)3adπθθ=−∫382()323aπ=−．……....【7】3、解：21090rr−+=，解之得121,9rr==，故对应齐次方程通解为912xxYCeCe=+，………【4】设原方程的一个特解为2xyae∗=，带入原方程化简得71a−=即17a=−，所以217xye∗=−,………【6】从而原方程的通解为291217xxxyeCeCe=−++．…………….…【7】4、解：Γ的方程为321xyz==，参数方程为3,2,xtytzt===，t从1到0………………..…..【2】所以3223xdxzydyxydzΓ+−∫03221[(3)33(2)2(3)2]tttttdt=+−∫03187874tdt==−∫…......【7】5、解：方程两边对x求偏导得，0zxzzeexx∂∂+−=∂∂，解之得1xzzexe∂=∂+，同理1yzzeye∂=∂+………………….………...【4】22(1)xzzzeezyxye∂−∂∂=∂∂+3(1)xyzzee++=−+…………………………………………………………….………...【7】华侨大学2012－2013学年第二学期2012级高等数学A(二)期末考试试题【A卷】参考答案与评分标准-2-三、【9分】解：注意到1{tan}n单调减少，且1limtan0nn→+∞=，故11(1)tannnn∞=−∑收敛……....【4】而1tanlim11nnn→+∞=，且11nn∞=∑发散，故11tannn∞=∑发散．于是级数11(1)tannnn∞=−∑条件收敛．…...【9】四、【10分】解：由对称性知111616AAdSΣ==∫∫22161xyxyDzzdxdy=++∫∫22216xyDRdxdyRx=−∫∫22220016RRxRdxdyRx−=−∫∫016RRdx=∫216R=．….……………..【5】22188DVVRxdxdy==−∫∫2222008RRxdxRxdy−=−∫∫2208()RRxdx=−∫3163R=．…【10】五、【10分】解：作曲面221:1,1zxyΣ=+≤，取上侧，设Σ与1Σ所围成的闭区域为Ω，…【2】则2()IzydxdyxdydzΣ=+−∫∫1122()()zydxdyxdydzzydxdyxdydzΣ+ΣΣ=+−−+−∫∫∫∫…【3】12(11)()dVzydxdyxdydzΩΣ=−−+−∫∫∫∫∫2(1)xyDydxdy=−+∫∫212200(1sin)ddπθρθρρ=−+∫∫54π=−．.…【10】六、【10分】解：114||1limlim4lim44||1nnnnnnnannannρ+−→+∞→+∞→+∞+====+，14R=.….….…【4】当14x=时，114nn∞=∑发散，当14x=−时，1(1)4nnn∞=−∑显然收敛，故收敛域为11,44−．…...【6】令114()nnnSxxn−∞==∑，则111144()nnnnnnSxxxnn−−∞∞==′′′==∑∑11(4)nnx∞−==∑114x=−，故0()()xSxStdt′=∫0114xdtt=−∫1ln(14)4x=−−．…………………………………………...【10】七、【6分】解：令lntx=，则101ntnnatedtb=∫10nnetdtb≤∫11nebn≤+nebn≤，…...【2】而12limlim01nnnnebnneebnαα→+∞→+∞+==，又1211nnα∞+=∑收敛，故1nnebn∞=∑收敛，于是1nna∞=∑收敛．...【6】2012－2013学年第二学期华侨大学2012级高等数学A(二)期末考试试题答案及评分标准【B卷】第1页共2页华侨大学本科考试卷2012—2013学年第二高等数学A(二)期末考试试题【B卷】学期参考答案与评分标准（20130705）一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1、10yz−−=；2、B,C,D；3、22vvuvvfyfxyf++；4、2sec304()dfdπθπθθρρ∫∫；5、0,1.二、解下列各题：（本题共6小题，每小题7分，满分42分）1、解：设所求点为000(,,),Mxyz曲面在该点出的一个法向量为00(,,1),nyx=−【2分】按题意，n垂直于平面，故有001131yx−==，【4分】求得003,1xy=−=−，从而0003.zxy==于是所求点为(3,1,3)M=−−，法线方程为313131xyz++−==【7分】2、解：令sin,xtey=则()sin,()cos,xxzzfteyfteyxy∂∂′′==∂∂进一步，2222()sin()sin,xxzfteyfteyx∂′′′=+∂2222()cos()sin,xxzfteyfteyy∂′′′=−∂【4分】代入原方程，得：()()0ftft′′−=，由此解得12()ttftCeCe−=+.【7分】3、解：112222111xDyxyddxyxydyσ−+−=+−∫∫∫∫【4分】31222111(1)3xydxx−=−+−∫113310121(1)(1)332xdxxdx−=−−=−−=∫∫.【7分】4、解：曲面在xOy面上的投影区域为22:2Dxyy+≤，【2分】被割的曲面的上半部分的方程为22zxy=+，由于对称性，所求曲面的面积为22212212222(1)22xyDDAAzzdxdydxdyπ