常微分方程5.3

常系数线性方程组§5.3常系数线性方程组常系数线性方程组(),dxAxftdt,()Annftatb这里系数矩阵为常数矩阵在上连续的向量函数;一阶常系数线性微分方程组:()0,ft若则对应齐线性微分方程组为,(5.33)dxAxdt本节主要讨论(5.33)的基解矩阵的求法.常系数线性方程组(3)矩阵向量的范数定义12(,,,)(TnijnxxxxnnAann对维列向量及矩阵),定义它们的范数为1,niixx,1,nijijAa,,,(),()[,],ABnnxynAtxtab设是矩阵和是维列向量是在上可积的函数矩阵和向量则易验证有下面的性质01,ABAB,AxAx02,ABAB,xyxy03()(),bbaaxsdsxsds()(),bbaaAsdsAsds().ab常系数线性方程组()(){},(),,1,2,,,{},.kkkijnnkijkAnnAaijnaA设是矩阵序列其中如果对一切数列都收敛则称是收敛的11kkkkAA设是矩阵级数,如果其部分和所组成的矩阵序列是收敛的,则称是收敛的.1kkA是收敛()1,,1,2,,kijkaijn收敛.常系数线性方程组,k如果对每一整数都有,kkAM1kkM而收敛,1kkA则收敛.1()kkAt同样可给出函数矩阵级数一致收敛定义和有关结果.常系数线性方程组一、矩阵指数expA的定义和求法1expA的定义定义,expAnnA设为常数矩阵则定义矩阵指数为下列矩阵级数的和20exp(5.34)!2!!kmkAAAAEAkm0,,,0!1.mEAAmAE其中为单位矩阵为的次幂注1:矩阵级数(5.34)是收敛的.由于,!!kkAAkk而数项级数1!kkAk收敛.常系数线性方程组注2:级数在t的任何有限区间上是一致收敛的.由于,,!!kkkkAcAttckk而数项级数1!kkkAck收敛.220exp!2!!kmkmkAAAAttEAtttkm常系数线性方程组2矩阵指数的性质(1),.ABABABBAeee若则1(2),(exp)AA对任何矩阵存在,且1(exp)exp(-).AA=由于:0()exp()!kkABABk0k0;!()!lklklABlkl00expexp!!ijijABABij=00[];!()!lklkklABlkl绝对收敛级数的乘法定理由于:expexp(-)AAexp((-))AAexp0.E常系数线性方程组(3),T若是非奇异的则)(exp).ATAT-1-1exp(TT由于:)AT-1exp(T10()!kkTATkE11()!kkTATkE11!kkTATk1TT11()!kkATTk11()!kkATETk(exp).AT-1T常系数线性方程组3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵(1)定理9矩阵()exptAt的基解矩阵,且(0).E证明:0,exptAt当时由定义知(0);E又因为'()(exp)'tAt23211!2!(1)!mmAAAAtttmAA()exptAt故是基解矩阵22()2!!mmAAEAtttmexpAt(),tA(5.33)dxAxdt是常系数线性方程组例1如果A是一个对角矩阵12naaAa'.xAx试求出的基解矩阵解由(5.34)得expAtE121!naata2122222!naata常系数线性方程组12!mmmmnaatma12natatateee例2'21.02xx试求出的基解矩阵解因为2102A20010200而后面两个矩阵是可交换的常系数线性方程组202,02E20100,0000故expAt20exp()02t01exp()00t2200ttee220101{}00002!tEt2200ttee101t21.01tte常系数线性方程组(2)基解矩阵的一种求法对n阶矩阵A设1ATJT,.TJJordan其中为非奇异矩阵为矩阵则1.AtJteTeT其中12,kJJJJ12,kJtJtJtJteeee注1:111.AtJtJteTTeTe由知,也是基解矩阵常系数线性方程组二基解矩阵的计算公式类似第四章4.2.2,寻求',(5.33)xAx形如(),0,(5.43)ttecc,.c的解其中常数和向量是待定的将(5.43)代入(5.33)得,ttecAec0,te因上式变为()0,(5.44)EAc1基解矩阵与其特征值和特征向量的关系常系数线性方程组方程(5.44)有非零解的充要条件是:det()0,EA结论(5.33)()ttec微分方程组有非零解的充要条件是,.Ac是矩阵的特征根是与对应的特征向量()(5.33)ttec为解()0EAc有非零解即例335.53试求矩阵A=特征值和特征向量解A的特征值就是特征方程35det()53EA26340的根,1235,35.ii',(5.33)xAx()0,(5.44)EAc常系数线性方程组11235(,)Tiuuu对特征根的特征向量满足()EAu1255055uiui解得1,0.ui21235(,)Tivv对特征根的特征向量v满足()EAu1255055vivi解得,0.1iv常系数线性方程组'3553xx微分方程组的解为(35)11,itxei(35)2;1itixe(35)11itxei3(cos5sin5)tetit1i3cossinsincosttitetit3cossinttet3sincosttiet故实解为:31cosy,sinttet32siny.costtet常系数线性方程组例421.14试求矩阵A=特征值和特征向量解特征方程为21det()14EA26903,因此为两重特征根为求其对应的特征向量考虑方程组()EAc1211011cc解得1,0,1c3是对应于特征根的特征向量'321141.1txxxe方程组的解为常系数线性方程组2基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法(1)矩阵A具有n个线性无关的特征向量时定理101212,,,;,,,(),nnvvv如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量它们相应的特征值为不必互不相同那么矩阵1212()[,,,],ntttntevevevt是常系数线性微分方程组',(5.33)xAx的一个基解矩阵.常系数线性方程组证明:由上面讨论知,每一个向量函数,1,2,,jtjevjn都是(5.33)的解,因此矩阵1212()[,,,]ntttntevevev是(5.33)的解矩阵,12,,,,nvvv由于线性无关所以12det(0)det[,,,]nvvv0()(5.33).t故是的基解矩阵常系数线性方程组例5'35.53xx试求微分方程组的基解矩阵解由例3知1235,35iiA是的特征值,12121,,,1ivvi是对应于的特征向量;由定理10,矩阵1212()[,]tttevev(35)(35)(35)(35)ititititeieiee就是一个基解矩阵.常系数线性方程组注:,()exp.tAt一般来说不一定是exp(),AttC但由于有1(0),C从而1exp()(0).Att例6试求例5的实基解矩阵.解由于基解矩阵为(35)(35)(35)(35)()ititititeietiee故实基解矩阵为expAt111ii(35)(35)(35)(35)ititititeieiee常系数线性方程组(35)(35)(35)(35)1112ititititieieiiee(35)(35)(35)(35)(35)(35)(35)(35)()12()ititititititititeeieeieeee3cos5sin5.sin5cos5tttett求例5满足初始条件1(0)1的解常系数线性方程组解由于基解矩阵为expAt3cos5sin5.sin5cos5tttett故该方程的通解为()(exp)xtAtc从而()(exp)tAtc由初始条件有1(0)1c故()t3cos5sin51.sin5cos51tttett3cos5sin5.sin5cos5tttett常系数线性方程组例7求方程组'5281815331610xx的通解.解A系数矩阵的特征方程为2det()3(1)0EA因此特征根为1230,1,1;它们相的特征向量为1232231,1,0;121vvv常系数线性方程组故基解矩阵为223()1012ttttteeteee故通解为123223()()1012ttttteecttceceec1211c2212tce330;1tce常系数线性方程组(2)矩阵A的特征根有重根时121212,,,;,,,;.kkknnnnnnn假设nn矩阵A的特征值为相应重数为且,nnU由高代知维常数列向量所组成的维空间的子集{|()0}jnjjUuUAEu(1,2,,),jUnjk是的维不变子空间且12,(5.49)kUUUU下面先寻求(5.33)满足初始条件(0)=的解,',(5.33)xAx()(exp)tAt分量是无穷级数分量表为t的指数函数与幂函数乘积有限项组合将分解,(exp)At常系数线性方程组jU因子空间是方程组()0,(5.48)jnjAEu的解产生的,jv从而一定是(5.48)的解,由此即得()0,,1,2,,,(5.51)ljjjAEvlnjk由于jteexp()jtjeEtjjjttteeeE(1,2,,),jjvUjk其中12,(5.50)kvvv由(5.49)有常系数线性方程组由(5.51)有(exp)(exp)jjAtvAtv