直线与抛物线的位置关系教案

课题：直线与抛物线的位置关系教学目地培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。教学重点运用解析几何的基本方法建立数形联系。媒体运用电脑powerpoint课件，几何画板动态演示，实物投影教学课型新授课教学过程（一）复习引入通过问题复习方程和曲线的关系。1、怎样判断直线L与抛物线C的位置关系？为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L：1(1)2yx，抛物线C：24yx，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？估计学生都能回答：由方程组21(1)24yxyx的解判断L与C的关系，紧接着提出问题：2、问为什么说方程组21(1)24yxyx有解，L与C就有公共点，为什么该方程组的解对应的点就是L与C的交点？通过这一问题，复习一下的对应关系：直线L上的点方程1(1)2yx的解；抛物线C上的点方程24yx的解；L与C的公共点方程组21(1)24yxyx的解。既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共点来解决。这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。（二）分析讨论例题讨论直线L：(1)ymx与抛物线C：24yx公共点的个数。请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2(1)4ymxyx的解，然后让学生尝试自己解决。提出下列几个问题：1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L有什么特点？m表示什么？抛物线C有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。2、m为何值时，L与C相切？3、当m很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L与C是否仅有一个公共点？后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。探究：请学生画出图形表示上述几个位置关系，从图中发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（几何画板动态演示）有两种情况，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等。（三）小结：1、几何关系与代数结论的对照直线L：Ax+By+C＝0与抛物线C：y2＝2px的位置关系讨论方程组202AxByCypx的解，消元转化为关于x或y方程220(0)axbxcaybyc或。L与C的对称轴平行或重合a=0；L与C有两个不同的公共点00a；L与C相切于一点00aL与C相离00a2、学会从几何、代数两个角度考虑问题。解决该类问题的一般步骤是：先从几何角度观察估计，再用代数方法运算分析，最后利用较精确的图形验证结论。如遇矛盾，应从两方面检查：是几何估计偏差还是代数运算有误？从而总结经验教训。（四）课堂训练（学生解答）1、直线yx1与抛物线2yx的交点有几个？2、讨论直线x=a与抛物线22yx的交点的个数？3、若直线L：y1ax2与抛物线22yx有两个交点，求a在什么范围内取值？4、直线ya1x1与曲线2yax恰有一个公共点，求a的值。前两个题由学生口头回答，在学生回答时提醒他们从代数、几何两个不同的角度考虑。后两个题请学生动笔演算后在回答。其中3题作为依形判数的典型：先从几何角度得出结论（即当L与x轴平行时与C交与一点，否则都交于两点），然后估计联立方程后将会得到什么相应的结论（消元后得到一元二次方程220(0)axbxcaybyc或，必须在计算之前，先考虑二次项系数a与零的关系）最后用代数解法验证以上估计。其中4题作为就数论形的典型，该题从几何图形上不易直接得出结论，因此只能先用代数方法分析，得出结论（40,1,5a）后，再利用图形逐一验证。（五）总结1、再一次强调要养成从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相补充，互相验证的数学方法。2、对比几何、代数两种方法的优劣。在总结中强调代数法能解决一般问题，不能让学生形成“代数法繁琐”这样的偏见，强调以代数法为主，以几何法为辅的思想。说到底，解析几何就数用代数方法研究几何问题的一门数学学科。（六）布置作业1、直线21yx与抛物线22yx的公共点的有几个？求出公共点坐标。2、由实数p的取值，讨论直线yx1与曲线22ypx的公共点个数3、若不论a取何实数，直线(1)ymax与抛物线24yx总有公共点，求实数m的取值范围。4、已知抛物线C:24yx，直线L:1(2)ykx,.当k为何值时，直线L与抛物线C只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：由题意，设直线l的方程为1(2)ykx，由方程组21(2)4ykxyx，（*）消去x，可得244(21)0kyyk.①（1）当0k时，由方程①得y＝1.把y＝1代入24yx，得14x.这时，直线l与抛物线只有一个公共点1(,1)4.(2)当0k时，方程①的判别式为216(21)kk.1°由0，即2210kk，解得于是，当1,k或12k时，方程①只有一个解，从而方程组（*）只有一个解.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.2°由0，即2210kk，解得112k.于是，当112k，且0k时，方程①有两个解，从而方程组（*）有两个解.这时，直线l与抛物线有两个公共点.3°由0，即2210kk，解得1,k或12k。于是，当1,k或12k时，方程①没有实数解，从而方程组（*）没有解.这时，直线l与抛物线没有公共点.综上，我们可得当1,k或12k，或0k时，直线l与抛物线只有一个公共点.当112k，且0k时，直线l与抛物线有两个公共点.当1,k或12k时，直线l与抛物线没有公共点.备注：这堂课的教案是基于在国培期间学习时，受到以下诸位专家教授观点的启发并结合自己的一点思考写下的，敬请各位同行和各位专家予以批评指正。1、“搬”——30岁的时候我将知识从书上搬到授课笔记上，再从授课笔记搬到黑板上（并且书写工整，保存完整，尽量不檫黑板）“卷”——现在我将学生卷入课堂，数学教学从数学问题开始。数学是玩概念的，许多老师却不重视概念，不重视概念应用的教学。做题目为什么——巩固概念，理解概念。概念课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”．一定要重视概念教学，核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”．————陶维林2、缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利；重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。数学概括能力是数学学科能力的基础，数学概括能力的训练是数学思维能力训练的基础。概括是思维的速度，灵活迁移的程度，广度和深度、创造程度等思维品质的基础。概括是概念教学的核心，概括是人们掌握概念的直接前提，把概括的机会让给学生。————章建跃3、石家庄二中试验学校的老师讲的课《导数的应用》时，所采用的例题是从课本上的一道例题衍生而来的，只是几个字母的变化，却能体现小台阶大容量的思维过程，水到渠成般的实现了能力的提升。受其启发，本节课所选案例题也尽量体现由一道例题衍生而来的过程，力求抓住其中的内在联系和思维的逐步延伸性。