物理光学第3章习题解答

物理光学习题解答第三章3.如教材图13-58所示，单色点光源S（波长）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光圆环。考察点P离光阑1m（SP连线通过圆环中心并垂直于圆环平面），问：在P点的光强和没有光阑时的光强之比是多少？500nm【解】1mm由于半径为的圆孔包含的波带数为20026()(1)(10001000)(1000)(1000)(50010)=4RrjrRmmmmmmmmmmmm0.5mm半径为的圆屏挡住的波带数为26(0.5)(10001000)(1000)(1000)(50010)1mmmmmmjmmmmmmPPP因此通光圆环通过的波带数为3.由于相邻两波带在点干涉的相消作用，所以通光圆环在点产生的振幅实际上等于1个波带在点产生的振幅。并且近似地等于第一个波带产生的振幅。12P没有光阑时点的振幅是第一个波带产生的振幅的，4P故通光圆环在点产生的强度是没有光阑时的强度的倍4.波长的平行光正入射在直径的圆孔上，与孔相距处放一屏幕。问：（1）屏幕上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？563.3nm2.6Dmm01rm【解】(1)P点的亮暗取决于圆孔包含的波带数是奇数还是偶数（假设波带数目不大）。当平行光入射时，波带数2226300/2(1.3)3(563.310)(10)DmmjrrmmmmP故点是亮点。PP(2)当点向前移近圆孔时，相应的波带数增加；波带数增大为4时，点变为暗点。P这时点到圆孔的距离为2206(1.3)7504563.310mmrmmjmmP即点移动的距离为001000750250rrmmmmmmPP当点向后移远圆孔时，波带数减小，减小为2时，点也变为暗点。P与此对应的到圆孔的距离为2206(1.3)15002563.310mmrmmjmmP因此点移动的距离为0015001000500rrmmmmmm9.波长为的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求：（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。500nm【解】(1)单缝衍射中央亮纹的角半宽度为6500100.020.025mmradamm=因此亮纹的半宽度0.0250010qfmmmm(2)1.43第一亮纹的位置对应于，即是sin1.432ka故41.431.43510sin0.0250.0286mmamm0.0286,rad或者因此第一亮纹到场中心的距离10.028650014.3qfmmmm2.46第二亮纹对应于，因而42.462.46510sin0.0250.0492mmamm它到场中心的距离20.049250024.6qfmmmm(3)第一亮纹的强度2200200sinsin1.431.43(0.213)0.047IIIII第二亮纹的强度22000sin2.46(0.128)0.0162.46IIII13.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a和b的圆环（见教材图13-61）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当b=a/2时，（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径（超越方程解为）。1111()()22JZJZ3.144Z【解】aP半径为的圆孔在衍射场点产生的振幅为21102()2()hJkaJkaEECakaka20EaP因为场中心振幅正比于圆孔的面积。圆孔中的圆屏使点的振幅减小212()sJkbECbkbP因此圆环在点产生的振幅为2211()()2rhsaJkabJkbEEECkakbP点的强度为2222112224422111211121212()()4()()()()42[][]raJkabJkbICkakbJZJZJZJZCababZZZZ12120ZkaZkbZZ式中，。对于衍射场中心，，相应的强度为442222220()4()442rababICCab/2ba当时22222409(1)()216raICaCa因此2402409()916()16rhCaIICa(2)圆环衍射强度的第一个零值满足2211()()0aJkabJkbkakb或111()()()2aaJkabJkbJka利用贝塞尔函数表解上式，得到13.144kaZ因此，第一个零点的角半径为3.1440.512aa2ab左图中，实线表示的是的圆环的衍射强度曲线。a半径为的圆孔的强度曲线如虚线所示。18.一台显微镜的数值孔径为0.85，问：（1）它用于波长时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为）400nm1【解】(1)显微镜的最小分辨距离可由下式求出：(2)400,1.45nmNA当时，930.61400101681.4510mmm分辨本领提高的倍数是2871.716890.610.61400102870.85mnmNA(3)为充分利用显微镜物镜的分辨本领，显微镜物镜应把最小分辨距离放大到眼睛的明视距离处能够分辨。人眼在明视距离处的最小分辨距离为1602502500.072685180eemmmmmm所以这台显微镜的放大率至少应为40.0726854321.6810eM21.一块光栅的宽度为10cm，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜的焦距为500mm。问：（1）它产生的波长的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光是波长为632.8nm及和此波长相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线的距离是多少？632.8nm【解】(1)632.8nm的单色光的一级和二级谱线的位置分别为6111632.810sinsin18261500mmdmm和611222632.810sinsin39121500mmdmm因此谱线的角半宽度为661632.8106.6710100cos1826mmradmm662632.8108.1710100cos3912mmradmm,xf由于半宽因此相应的半宽分别为633116.6710500103.3410xfmm633228.1710500104.0810xfmm(2)sindm将求导可得cosdmcosmlfd因此，光线的线色散为coslmfd1218263912上题已算得一级谱线和二级谱线的衍射角分别为和，所以相应的线色散为6115001cos10cos18265000.26/lmfmmdnmmmnm62225001cos10cos39125000.64/lmfmmdnmmmnm0.5nm而波长差的两种单色光的一级谱线和二级谱线之间的距离为110.260.50.13llmm220.640.50.32llmm22.设计一块光栅，要求（1）是波长的第2级谱线的衍射角；（2）色散尽可能大；（3）第3级谱线缺级；（4）在波长的第2级谱线处能分辨0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线？600nm30600nm【解】60030nmd为使波长的二级谱线的衍射角，光栅栅距必须满足632600102.410sinsin30mmmdmmd据（2），应选择尽量小，故32.410dmm据（3），光栅缝宽332.4100.81033dmmmmN再由条件(4),光栅的缝数至少应有6001500020.02nmNmnmW所以光栅的总宽度至少为3150002.41036WNdmmmm9090光栅形成的谱线应在的范围内。当时，34sin2.4104610dmmmmm490即第级谱线对应于衍射角，实际上不可能看见。12此外第3级缺级，所以只能看见0，，级共5条谱线。25.有一多缝衍射屏如教材图13-64所示，缝数为2N，缝宽为a,缝间不透明部分的宽度依次为a和3a。试求正入射情况下，这一衍射的夫琅和费衍射强度分布公式。【解】220sin1)4cos2II对于双缝衍射：sin2klaa22sin2sin4sindaa422即220sin4cos2II22)sind对于多缝干涉：36daaaaa其中266sinsin62aa22sinsin62sin6sin2NN多光束干涉因子为2220220sinsin64cos2sin6sinsin64cos2sin6NIINIsina26.一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有多大？（3）试同空气间隔为1cm、精细度为25的法布里—珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。7712500nm【解】1(1)300dmm光栅栅距260,mm已知光栅宽因此光栅槽数为42603007.810WNd500nm因此，光栅对的闪耀级数为62sin21/300sin77121350010dmmmmm因此光栅的分辨本领46137.81010mN(2)光栅的自由光谱范围50038.513nmnmm3)题给法布里—珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围分别为6620.97210250.970.971050010hmmmSSmm和227(500)0.01252210nmnmhnm可见题给光栅和标准具的分辨本领相当，但光栅比标准具的自由光谱范围宽得多。