函数的最大值最小值与导数

高二数学组平度市第九中学纪云尚一、旧知回顾1.极值与导数之间的关系2.用导数求函数单调区间的步骤是极小值那么右侧附近的左侧在，并且如果是极大值那么右侧附近的左侧，并且在如果)(,0)(',0)('0)(';)(,0)(',0)('0)('000000xfxfxfxxfxfxfxfxxf点与极值。的符号，进而确定极值的根的左右两侧在方程表检查通过列解方程求导数0)(')(')3(;0)(')2();(')1(xfxfxfxfab1x2x3x4x二、新知讲解观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数的图象．图中与是极大值，与是极小值．函数在[a,b]上的最大值是，最小值是．)(xf)(1xf3()fx2()fx)(bf)(xf)(4xf2()fxab结论：一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数在y=f(x)上必有最大值与最小值．注意：（1）在开区间（a,b）上连续的函数在y=f(x)上不一定有最大值与最小值．例如：反比例函数(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．(4)最值可以在端点处取得，而函数的极值不可能在端点处取得。(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值三、求最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)四、例题讲解解：xy，y-+1522例1、求函数f(x)=-x3+12x+6在区间内的最大值和最小值]3,31[2312)('xxf)(2,2,0312)('212舍令xxxxf312755)2,31(2)3,2(30]3,31[故函数f(x)在区间内最大值为22，最小值为2755五、反馈练习x-4(-4,-3)-3(-3,3)3(3,4)4f’(x)+0-0+f(x)4454-54-44解：1、求函数f(x)=x3-27x在区间内的最大值和最小值]4,4[273)('2xxf3,3,0273)('212xxxxf令5454]4,4[27)(3最小值为，上的最大值为在xxxf五、反馈练习2、求函数f(x)=3x-x3在区间内的最大值和最小值]3,2[18)3(,2)2(]3,2[)(')(1)(1033)(',33)('minmax2122ffffxxfxxxxfxxf单调递减。所以在所以舍舍解得令一是利用函数性质二是利用不等式三是利用导数求函数最值的思路与一般方法：六、方法总结六、含参问题baxbaxxxfa,261]1,1[,23)(,13223，求常数，最小值为的最大值是函数设axxaxxxfxfaxxxf2122,0,033)(')(',33)('令解：x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f’(x)+0-0+F(x)bba231ba23ba23136,262323231)1()(0)2(121)()1(1,)0()(,0123)1()0()1()0(),1()1(),()0()(02aaabafxfaaaffbbfxfaffffffaffxfx所以的最小值为所以）（又所以的最大值为所以的大小。因为与故需比较取得极大值，而时，从上表可知，当经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件。23()logxaxbfxx例2已知,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由。xbaxx2解：设g(x)=∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.3)1(0)1('gg∴3101bab∴11ba解得例3在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？xx6060xx由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm323()602xVxx602xh)600(x260)(322xxhxxV解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积23()602xVxx令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000x60-2x60-2x60-2xx60-2x6060xxxV2)260()()300(x解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值260)(322xxhxxVxxxV2)260()(答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积例4圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？2VhRS=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则2VR2VRS(R)=2πR+2πR2=+2πR222()VsRR令+4πR=032V解得，R=，从而2VR23()2VV34V3Vh====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：产量为84时，利润L最大。(0100)q1214Lqqp8125例5已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．211252588Rqpqqqq解：收入221125(1004)2110088LRCqqqqq利润0L12104q84q令，即，求得唯一的极值点课堂练习1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函数y=，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.4.函数y=的最大值为()A.B.1C.D.234213141xxx1213122xxx332123DAAA5.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________.6.函数f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值为_____；最小值为_______.7.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.8.使内接椭圆=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.9.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大。222222byax2a2a23R2a2b-1522课堂小结课后作业⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值；开区间（a,b）内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。(4)根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较。知识回顾1、用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数（2）求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（3）求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间(3)检查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。2、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根3、=0是可导函数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件。fxfx4、在x0两侧的导数异号是x0为极值点的充要条件。