华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-18

第十七章排列组合与二项式定理17．1乘法原理和加法原理基础练习1．5个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报一所且只能报一所院校，则共有__________种不同的报名方法．解：每位学生可以有3种报考重点院校的方式，由乘法原理可得：53243．2．在所有三位数中，有且只有两个数字相同的三位数有__________个．解：（1）百位和十位一样，有9981种，（2）百位和个位一样，有9981种，（3）十位和个位一样，有99981种，一共243种．3．由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位奇数的个数是__________．解：首先末尾必须排奇数，其次最高位不排0，则34432l288．4．从0到8这9个数字中选4个数字组成没有重复数字的四位数，按下列要求分别求符合条件的个数．①四位数中奇数的个数．②四位数中偶数的个数．③四位数中能被25整除的个数．④四位数中大于4500的个数．⑤四位数中小于3570的个数．解：①47761176．②按首位是否为零分类，87647761512．③66276114．④48764761512．⑤287647656870．5．从2，3，5，7这四个数字中，任取两个分别作为分数的分子和分母．有几个是真分数?几个是假分数?解：（1）按照分母可以取7，5，3分类，则3216．（2）按照分母可以取2，3，5分类，3216．6．已知210123m，，，，，，321012n，，，，，，且方程221xymn是表示中心在原点的双曲线，则表示不同的双曲线最多有多少条?解：0mn，则分0m，0n和0m，0n，则223313．能力提高7．在一张平面上画了2007条互不重合的直线1l，2l，…，2007l始终遵循垂直、平行交替的规则进行：12ll,23ll∥,34ll，…．这2007条互不重合的直线的交点共有多少个?解：100310041007012．8．4个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，但不能取自己写的那一张贺卡，则不同的取法共有多少种?解：由于先让一人甲去拿一种有3种方法，假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法，剩下两人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去．这样两人只有一种拿法，3319，故答案为9．9．一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，有多少种不同排课方法?解：数学课排第一节，班会课排在下午，然后再排体育，则2432148，数学课不排第一节，先排数学，再排班会，再排体育课，则323321108，则有156种不同排课方法．10．如果一个三位正整数形如“123aaa”满足12aa且32aa，则称这样的三位数为凸数，求这样的凸数的个数．解：对2a进行分类讨论，由题意，当中间数是2时，首位可取1，个位可取0，1，故总的种数有212，当中间数为3时，首位可取1，2，个位可取0，1，2，故总的种数共有623，…，当中间数为9时，首位可取1，2，…，8，个位可取0，1，2，…，8，故总的种数共有7289，故所有凸数个数为1223348926122030425672240，故答案为：240．17．2排列基础练习1．解方程：①32213P2P6Pxxx．②13P17160r．解：①将排列写为分数形式，则31221615xxxxxxxx，②4x．2．10个人站成一排，要求甲，乙之间必须站4个人，则共有多少种不同的站法?解：甲，乙之间选4个人，然后把这6个人视为一个整体，则24582858PPP52P403200．3．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目．3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，可排出多少种不同的节目单?解：3个舞蹈节目无先后顺序，则一共88P种，3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，则有8888P6720P种．4．一铁路线上原有”个车站．为适应客运需要，新增加了m个车站1m，客运车票因此增加了62种．问现有多少个车站?（来回的车票不同）解：226262212nmnPPnmmm，15n，则17mn．5．4位男生和4位女生围成一个圆圈，如果男女相问表演舞蹈，有多少种排法?解：3!4!144．6．6颗不同珍珠与6颗不同的玛瑙相隔串成一串项链，有多少种不同的串法?解：15!6!432002（项链可以翻转）．7．有8个队比赛，采取淘汰制，在赛前抽签时，实际上可得到多少种不同的安排法?解：48!331524!．能力提高8．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，求不同的选派方案数．解：由题意知本题需要分类，若小张或小赵入选，则有选法113223CCP24；若小张、小赵都人选，则有选法2323PP12，根据分类计数原理知共有选法36种．故答案为：36．9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，求不同站法的总数．解：由题意知本题需要分组解决，由于对于7个台阶上每一个只站一人有37P种；若有一个台阶有2人，另一个是1人共有1237CP种，则根据分类计数原理知共有不同的站法种数是336种．故答案为：336．10．在99的黑白相间的棋盘上，有多少种方法将8只互不攻击的车放在同色的格子里?（称放在棋盘的同一行或同一列的2只车是互相攻击的）解：先考虑8只互不攻击的车放在黑色格里的方法种数，再考虑放在白色格里的方法种数．注意到，放在奇数行的黑格的车与放在偶数行的黑格的车不能互相攻击；同理：放在奇数行的白格的车与放在偶数行的白格的车不能互相攻击．（1）将原棋盘中奇数行的黑格拼成一个55的棋盘，有5!种方法放置5只互不攻击的车在此棋盘里．将原棋盘中偶数行的黑格拼成一个44的棋盘，有4!种方法放置4只互不攻击的车在此棋盘里．从而，共有5!4!种方法将9只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．再从9只车中拿走任意一只车满足条件且其中没有重复，于是共有95!4!种方法将8只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．（2）将原棋盘中奇数行的白格，偶数行的白格分别拼成一个54的棋盘，有5!种方法放置4只互不攻击的车在各自棋盘里，于是，共有2254325!种方法将8只互不攻击的车放在棋盘的白格里．于是一共有295!4!5!40320种方法．17．3组合基础练习1．圆上有8个点，任意两点可连成弦，两弦交点在圆内的有__________个．解：两弦的交点就是两弦的四个顶点构成的四边形的对角线的交点．于是两弦的交点数就是四边形的个数．于是，两弦交点在圆内的有48C70．2．以正方体的顶点为顶点的四面体个数是__________个．解：正方体的八个顶点构成12个矩形，于是48C1258．3．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方法?解：由挡板法可得，79C36．4．100件产品中有4件次品，现抽取3件检查，（1）恰好有一件次品的取法有__________种．（2）既有正品又有次品的取法有__________种．解：（1）12496CC18240．（2）1221496496CCCC18816．5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__________种．解：4441284CCC34650．6．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有多少种不同的取法?解：4只鞋配成一双或配成两双，则1211254225CCCCC130．7．如图17-2，点1P，2P，…，10P分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组1110ijkPPPPijk，，，≤有多少个？图17-2P10P9P8P7P6P5P4P2P3P1解：35C333个．8．m，n，rN，试证明：011220CCCCCCCCCrrrrrnmnmnmnmnm．解：构造数学模型证明．全班有nm个人，从中选出r个人当志愿者。原式等价于先把全班人分成两组，A组人数为n，B组人数为m．然后从A，B组中共选出r人．9．将两个a和两个b共4个字母填在44的小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使用相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有多少种?解：22222124444169CPCPCP3960．10．平面上给定5个点，已知连接这些点的直线互不平行，互不垂直，也不重合．过每个点向其余四点的连线作垂线，这些垂线的交点最多能有多少个（不计已知的5个点）?解：垂线共有6530条，交点共有230C435个，由于同一点所作垂线无交点，且同一直线的垂线无交点．共扣除15105125个点．则实际有435125310个．17．4其他几种排列组合基础练习1．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则共可发出的不同信号有多少种?解：每个窗有3种亮灯方式，由乘法原理可知：一共53243种方式．2．组成mathematician的13个字母，可以组成多少个不同的13字母的单词？解：mathematician中有2个m，2个t，2个i，3个a，于是共有13!2!2!2!3!个不同的单词．3．晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目，要求每两个舞蹈节目之间至少有两个演唱节目．则有多少种不同的节目顺序表?解：4!·9!·47C．4．求123413xxxx≤的正整数解的组数．解：12344xxxx，5，6，…，13．然后用挡板法解题，得到：3333412CCC715．5．88xyzn，x，y，*zN有666组正整数解，求n的最大值．解：max8837304n．6．在1到610之间有多少个整数的各位数字之和等于9?解：转化成方程1234569xxxxxx的自然数解个数的问题，等价于方程12345615yyyyyy的正整数解个数的问题，514C2002．7．3570有多少不同的偶数因子?解：3570235717，偶数因子里一定有2，3，5，7，17四个质数的每一个质数可能有，可能没有．则4216．能力提高8．如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序依次取出以1a，2a，3a使同时满足：213aa≥，323aa≥，那么所有符合要求的不同取法有多少种?解：811120nnkk种．9．有多少种方法将100表示成3的非负幂次的和的形式?（加数的不同排列是作同一种的表示方法）解：402．10．由数字1，2，3组成n位数3n≥，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，那么，这样的”位数有多少个?解：n位数有133323nnIAA个．17．5排列与组合的综合应用基础练习1．电梯里有7名乘客，在10层楼房的每一层停留，如果恰有3个乘客在同一层出去，有2个乘客在另一层同时出去，这样的下客方法有多少种?解：1058400．2．把2000个不加区分的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i个盒子里至少有i个球1210i，，，，则不同的方法总数是多少?解：123101231020001291995xxxxxxxx，即123101291995xxxx的正整数解的组数，等价于把1955个一样的球分给10个人，每人至少得一个球．然后利用挡板法解题，91954C．3．路上有编号为1，2，3，…，10共十个路灯，