近世代数期末考试试卷及答案

1一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c）是子群。A、aB、ea,C、3,aeD、3,,aae2、下面的代数系统（G，*）中，（D）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（B）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（B）A、12B、12C、22D、215、任意一个具有2个或以上元的半群，它（A）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于----25--。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与---模n剩余类加群----同构。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=---｛2｝--。6、若映射既是单射又是满射，则称为----双射-------------。27、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----naaa,,,10使得010nnaaa。8、a是代数系统)0,(A的元素，对任何Ax均成立xax，则称a为---右单位元------。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、-----消去律成立----。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是--交换环--------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(12)}，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若G，*是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。3近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则4aff1----------。3、区间[1，2]上的运算},{minbaba的单位元是-------。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。5、环Z8的零因子有-----------------------。6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为--------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。1．求和1；2．确定置换和1的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。5近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653()6)(57)(48)(123(可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：)27)(24)(16)(15)(13()57)(48)(12)(13(62、解：设A是任意方阵，令)(21AAB，)(21AAC，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且CBA。若令有11CBA，这里1B和1C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1BB，1CC，所以，表示法唯一。3、答：（mM，m）不是群，因为mM中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G中任意元x，y，由于exy2)(，所以yxxyxyxy111)(（对每个x，从ex2可得1xx）。2、证明在F里)0,,(11bRbabaabab有意义，作F的子集)0,,(bRbabaQ所有Q显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H的3个右陪集为：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H的3个左陪集为：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：7a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群G，*的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、nm；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用8黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1．)56)(1243(，)16524(1；2．两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义11aa，因而R的任意元1bb这就是说=R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。