材料力学课件扭转

第3章扭转一、定义变形形式，扭转变形作用下，杆的各横截面产生相对转动的MMeeMeMe——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩简称扭转。§3.1概述二、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。Me主动力偶阻抗力偶2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。3、机器中的传动轴工作时受扭。扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。主要发生扭转变形的杆——轴。AmMe主动力偶阻抗力偶em三、两个名词外扭矩（Me）MeMe——使得杆产生扭转变形的外力偶矩扭转角（）——任意两个横截面的相对转角§3-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图一、外力偶矩的计算右图设某轮传递的功率P（kW），轴的转速是n(r/min）功的功率相当于每分钟作kW)(P1)(601000=××kWPW所作的功：外力偶矩eM2)(2=enMWmNekWMnP.2=601000(2)=1)(××得二、扭矩和扭矩图TmTm扭矩mNr/minkW9550mnPnPMemNr/minPS7024mnNnNMe(5-1)[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。㈩eMTnn㈩eMT扭矩T的符号规定：r/min300=PS20,PS15,PS50nNNNNDCBA解：mN11703005070247024nNMAAmN4683002070247024mN3513001570247024nNMnNMMCDBCBmN3511BMTmN702)(2CBMMTmN4683DMTmN1170mN351mN351mN468T(Nm)TTT123351702468NmNmNm§3-3薄壁圆筒的扭转1、实验：一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒轴的扭转0101rt,r0：为平均半径）(壁厚2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：,0000横截面上'可认为切应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；,DtDt3、切应力的计算公式：2.2020200trtdrrdATAtrT202d薄壁圆筒横截面上的切应力计算式二、关于切应力的若干重要性质1、剪切虎克定律l为扭转角lr0即lr0做薄壁圆筒的扭转试验可得T——trT202lr0薄壁圆筒的实验,证明剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系：当剪应力不超过材料剪切比例极限τp,剪应力与剪应变成正比。该式称为剪切胡克定律。G即当p时剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量E泊松比μGE21()从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体——zyddzxddMeMexyzabOcddxdy''0yF0zM自动满足0xFyzxxzydddddd存在'得2、切应力互等定理切应力互等定理单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。dabc''xyzabOcddxdy''在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。§3-4圆轴扭转时截面上的应力扭转强度计算一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律1、实验：观察变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力00（1）00（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。剪应变的变化规律：dxRddxDDtg'tgxdddxdd取楔形体O1O2ABCD为研究对象微段扭转变形dD’dxd二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律PmaxG→GdxdG方向垂直于半径。d/dx－扭转角变化率弹性范围内三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式ATAdAIApd2xGITpdd代入物理关系式得：xGddpIT圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。pGITxddAxGAddd2扭转变形计算式横截面上—PPPWTITITmaxmaxmax—抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：PWTmaxmax公式的使用条件：1、等直的圆轴，2、弹性范围内工作。Ip—截面的极惯性矩，单位：圆轴中τmax的确定44,mmm.,33mmm单位：maxpPIWPW圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数WpAAId2p16π2/3ppddIW)dπ2(202d32π4ddπ2dA2/04)4π(2d实心圆截面：Od223pdπ2DdI4344pp116π16π2/DDdDDIW空心圆截面：dπ2dA4432πdD44132πDDdDOd现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef(如图)上的应力。二、斜截面上的应力分离体上作用力的平衡方程为0sinsindcoscosdd,00cossindsincosdd,0AAAFAAAF利用='，经整理得2cos,2sin由此可知：(1)单元体的四个侧面(=0°和=90°)上切应力的绝对值最大；(2)=-45°和=+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；min45max452cos,2sin低碳钢扭转试验演示低碳钢扭转破坏断口铸铁扭转破坏试验演示铸铁扭转破坏断口圆轴扭转破坏分析低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）；若材料抗拉能力差，构件沿-45斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；2cos;2sin分析：´45°:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max横截面上！1、强度条件：2、强度条件应用：1）校核强度:.)1(16,16433空心实心DDWPPWTmaxmax≤PW≥][maxT2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:maxT][PW≤m三、扭转强度计算][maxmaxpmaxWTpmaxmaxWT等截面圆轴:变截面圆轴:例已知T=1.5kN.m，[t]=50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与a=0.9的空心圆轴。解：1.确定实心圆轴直径316πdT3π16Tdmm54d取：m5350.0Pa)10π(50)mN101.5(16363][max16π3maxdT2.确定空心圆轴内、外径)1(16π1643DTmm3.76)1(π1634TDmm7.68Ddmm68mm76dD，取：3.重量比较%5.394π)(4π222ddD空心轴远比实心轴轻43p116πDW例图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN•m，MB=36kN•m，MC=14kN•m。材料的许用切应力[t]=80MPa，试校核该轴的强度。解：1、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kN·m）MAMBⅡⅠMCACBBC段MPa3.71mm10016πmmN1014362p2max,2WTAB段1p1max,1WT2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度MPa8.64mm12016πmmN102236MPa80][即该轴满足强度条件。2214T图（kN·m）直径为d1的实心圆轴Ⅰ(图a)和内、外直径分别为d2和D2，＝d2/D2=0.8的空心圆轴Ⅱ(图b),两轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。例题31e1pe1p1max,1π16dMWMWT432e2pe2p2max,21π16DMWMWT4322p311p116π,16πDWdW1.分别求两轴的最大切应力194.18.0113412dD2.求D2/d1和二轴重量之比。由1,max=2,max，并将＝0.8代入得因为两轴的长度l和材料密度分别相同，所以两轴的重量比即为其横截面面积之比512.08.01194.114π4π222122221222212dDddDAA切应力的分布规律如图c、d所示，当max＝[]时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，还要注意加上成本和构造上的要求等因素。zmaxd1(c)maxD2d2(d)§3-5扭转变形扭转刚度计算Ⅰ.扭转时的变形等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)来度量。MeADBCMe当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有pGITl由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角为pddGITxllxGIT0pddⅡ.刚度条件式中的许可单位长度扭转角[']的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴[‘]≈0.15~0.30(°)/m；对于一般的传动轴[']≈2(°)/m。][max][π180pmaxGIT(°)(°)由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比=0.5。已知材料的许用切应力[]=40MPa，切变模量G=80GPa。轴的最大扭矩Tmax=9.56kN·m，许可单位长度扭转角[']=0.3(°)/m。试选择轴的直径。例题1.按强度条件求所需外直径D有由因][,161516π116πpmaxmax343pWTDDW109mmm10109Pa10401615πmN1056.916][1615π16363max33TD解：2.按刚度条件求所需外直径D有由因][π180,161532π132πpmax444pGITDDI125.5mmm105.125m/)(3.01π1801615πPa1080mN1056.932][1π1801615π32393max44GTDmm75.62d3.空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5mm(由刚度条件控制)，内直径则根据=d/D=0.5知[例]水平面上的直角拐，