随机信号分析习题

随机信号分析习题一1.设函数0,00,1)(xxexFx，试证明)(xF是某个随机变量的分布函数。并求下列概率：)1(P，)21(P。2.设),(YX的联合密度函数为(),0,0(,)0,otherxyXYexyfxy，求10,10YXP。3.设二维随机变量),(YX的联合密度函数为)52(21exp1),(22yxyxyxfXY求：（1）边沿密度)(xfX，)(yfY（2）条件概率密度|(|)YXfyx，|(|)XYfxy4.设离散型随机变量X的可能取值为2,1,0,1，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()YgXXX。（1）求Y的可能取值（2）确定Y的分布。（3）求][YE。5.设两个离散随机变量X，Y的联合概率密度为：)()(31)1()3(31)1()2(31),(AyAxyxyxyxfXY试求：（1）X与Y不相关时的所有A值。（2）X与Y统计独立时所有A值。6.二维随机变量（X，Y）满足：sincosYX为在[0，2]上均匀分布的随机变量，讨论X，Y的独立性与相关性。7.已知随机变量X的概率密度为)(xf，求2bXY的概率密度)(yf。8.两个随机变量1X，2X，已知其联合概率密度为12(,)fxx,求12XX的概率密度？9.设X是零均值，单位方差的高斯随机变量，()ygx如图，求()ygx的概率密度()Yfy490243-3()ygxx\10.设随机变量W和Z是另两个随机变量X和Y的函数222WXYZX设X，Y是相互独立的高斯变量。求随机变量W和Z的联合概率密度函数。11.设随机变量W和Z是另两个随机变量X和Y的函数2()WXYZXY已知(,)XYfxy，求联合概率密度函数(,)WZfz。12.设随机变量X为均匀分布，其概率密度1,()0Xaxbfxba，其它（1）求X的特征函数,()X。（2）由()X，求[]EX。13.用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X和2X之和的概率密度。14.证明若nX依均方收敛，即l.i.mnnXX，则nX必依概率收敛于X。15.设{}nX和{}nY(1,2,)n为两个二阶矩实随机变量序列，X和Y为两个二阶矩实随机变量。若l.i.mnnXX，l.i.mnnYY，求证lim{}{}mnmnEXXEXY。随机信号分析习题二1.设正弦波随机过程为0()cosXtAwt其中0w为常数；A为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即1,01()0,othersAafa(1)试求00030,,,44t时，()Xt的一维概率密度；(2)试求02tw时，()Xt的一维概率密度。2.若随机过程()Xt为(),XtAtt式中，A为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量，求[()]EXt及12(,)XRtt。3.设随机振幅信号为0()sinXtVwt其中0w为常数；V是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。4.设随机相位信号0()cos()Xtawt式中a、0w皆为常数，为均匀分布在[0,2]上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。5.设()sin(),XtAwtt，()sin(),YtBwtt，其中A，B，w，为实常数，~[0,2]U，试求(,)XYRst。6.数学期望为()5sinXmtt、相关函数为2210.5()12(,)3ttXRtte的随机信号()Xt输入微分电路，该电路输出随机信号()()YtXt。求()Yt的均值和相关函数。7.设随机信号3()cos2tXtVet，其中V是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的随机信号0()()tYtXd。试求()Yt的均值、相关函数、协方差函数和方差。8.利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程cos,()2,tXtt出现正面出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。(1)求()Xt的一维分布函数(,1/2)XFx和(,1)XFx；(2)求()Xt的二维分布函数12(,;1/2,1)XFxx。9.给定一个随机过程()Xt和任一实数x，定义另一个随机过程1,()()0,()XtxYtXtx证明()Yt的均值函数和自相关函数分别为()Xt的一维和二维分布函数。10.定义随机过程1,()1,nXtn第次投掷均匀硬币出现正面第次投掷均匀硬币出现反面0,1,2,,(1)nnStnS，S为正常数，设[0,]US，且与()Xt相互独立，令()()YtXt，试求(,)XRst与(,)YRst。11.考虑一维随机游动过程nY，0,1,2,n，其中00Y，1nniiYX，iX为一取值1和1的随机变量，已知(1)iPXq，(1)iPXp，0,1pq，1pq，且iX，1,2,i相互独立，试求：1)()nPYm;2)nEY和nDY。12.考虑随机过程()Xt，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状，将0t时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T，假设0T是一个均匀分布的随机变量01,0()0,othersTTtTpt求()Xt的一维概率密度()Xpx13.将上题中的锯齿波过程作一点改动，使每个脉冲的幅度A为服从麦克斯韦(Maxwell)分布的随机变量22232exp,0()20,0Aaaapabba其中0T的定义和上题相同。假设不同脉冲的幅度A之间统计独立，并均与0T统计独立，求()Yt的一维概率密度()Ypy。14.考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程()sin()XtAt其中振幅A、角频率和相位是相互独立的随机变量，并且已知：0202,0()0,othersAaaAApa1,250350()1000,otherswpwY(t)tTT0tTT0X(t)A1,02()20,othersp求()Xt的一维概率密度。随机信号分析习题三1.设有零均值的平稳过程()0Xtt，，其相关函数为()XR，令0()()tYtXsds0t求()0Ytt，的方差函数和协方差函数。2.设()Xtt，是平稳过程，且()1EXt，2()1XRe，求随机变量10()SXtdt的数学期望和方差。3.设随机过程()()()ZtVXtYtt其中平稳过程()Xt和()Yt及随机变量V三者相互独立，且0XYmm，()Xt的相关函数为2()2cosXRe，()Yt的相关函数为3()9YRe，又2EV，9DV。求()Zt的数学期望，方差和相关函数。4.设平稳过程()Xtt，，其相关函数为()XR，且()(0)XXRTR，0T是常数。证明：(1)(()())1PXtTXt(2)()()XXRTR5.设()cosXtAwt，t，其中w是常数，A是随机变量，具有概率密度函数101()0othersAxfx讨论()Xtt，的严平稳性。6.设A是任意的随机变量，是与A相互独立的，且在[0,2]上服从均匀分布的随机变量，令()sin()XtAwt，t，0w是常数，证明()Xtt，是严平稳过程。7.设()Xtt，是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，令()()(0)YtXtX，t。判断()Ytt，是否为平稳过程。8.设()cossinZtYtXt，t，其中X和Y是相互独立的随机变量，且2(1)(1)3PXPY，1(2)(2)3PXPY。(1)求()Ztt，的均值函数和相关函数；(2)证明()Ztt，是宽平稳过程，但不是严平稳过程。9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程()Xt，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状，将0t时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T，假设0T是一个均匀分布的随机变量01,0()0,othersTTtTpt判断()Xt平稳性。10.(上节习题课的例题14)考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程()sinXtAt其中振幅A、角频率和相位是相互独立的随机变量，并且已知02020()0AaaAApaotherstTT0X(t)A1250350()1000wpwothers102()20pothers(1)求()Xt的一维概率密度；(2)()Xt是一阶平稳过程吗？11.设()Xtt，是平稳过程，其协方差()XC是绝对可积，即()XCd。证明()Xtt，的均值具有各态历经性。12.设随机过程()()ZtXtY，其中()Xt是一平稳过程，Y是与()Xt无关的随机变量，讨论过程()Zt的遍历性。13.设()cosXtAwt，t，其中0w是常数，A和是相互独立的随机变量，且[0,2]U，研究()Xtt，的各态历经性。14.随机过程()XtX，t，其中X是具有一、二阶矩的随机变量，但不服从单点或两点分布()1PXa，0a，讨论它的各态历经性。随机信号分析习题四1.已知平稳过程()Xt的相关函数如下，试求它的功率谱密度(1)0()cos,0aXRewa(2)0001,()0,XTTRT2.设()Xt为一个随机电报波过程，它的一个样本函数如图所示。已知在任一时刻波形取A和A的概率相同，在时间间隔内波形变号的次数n服从参数为的泊松分布()(,)!nPnen(1)求()Xt的自相关函数；(2)求()Xt的功率谱密度函数。3.已知平稳过程()Xt和()Yt的功率谱密度为2424()109XwS242()32YwS求()Xt和()Yt的自相关函数和均方值。4.若()Xt是平稳随机过程，如图所示证明过程()Yt的功率谱密度为()2()(1cos)YXSwSwwT5.设()Sw是一个平稳过程的功率谱密度函数，证明22()dSwdw不可能是平稳过程的功率谱密度函数。6.设随机过程()cos()Xtat，其中a为常量，和为相互独立的随机变量，且均匀分布于(0,2)，的一维概率密度为偶函数，即()()aafwfw，求证()Xt的功率谱密度为2()()XaSwafw7.设()Xt和()Yt是联合平稳的。试证明0t0AA()Xtt()Yt()Xt延时T＋Re()Re()XYYXSwSwIm()Im()XYYXSwSw8.给定一个随机过程0()cos()XtAwt式中，A和0w为常数，为均匀分布于(0,2)的随机变量（1）求()Xt的平均功率；（2）求()Xt的功率谱密度。9.若平稳过程()Xt的功率谱密度为()XSw，又有0()()cosYtaXtwt式中，a为常数，求功率谱密度()YSw。10.设()Xt和()Yt是两个相互独立的平稳过程，均值函数Xm和Ym都不为零，已知Xm和Ym，以及()Xt和()Yt的功率谱密