2013全国数学联赛初中数学试题及答案---打印版

2013年全国初中数学竞赛试题班级姓名成绩供稿人：李锦扬一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a，b，c满足2302340abcabc，，则222abbccaabc的值为（）．（A）12（B）0（C）12（D）12．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程20axbxc有两个非零实根1x，2x，则下列关于x的一元二次方程中，以211x，221x为两个实根的是（）．（A）2222(2)0cxbacxa（B）2222(2)0cxbacxa（C）2222(2)0cxbacxa（D）2222(2)0cxbacxa3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定．．．是有理数的为（）．（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且4BCCF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．（A）3（B）4（C）6（D）8（第3题）（第4题）5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：32233333451160xyxyxyxyxy，且xyzxyz，则2013201232的值为（）．（A）607967（B）1821967（C）5463967（D）16389967二、填空题6．设33a，b是2a的小数部分，则3(2)b的值为．7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是．8．已知正整数a，b，c满足2220abc，2380abc，则abc的最大值为．9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程20xcxd的两根为a，b，一元二次方程20xaxb的两根为c，d，则所有满足条件的数组()，，，abcd为．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了支圆珠笔．（第7题）三、解答题11．如图，抛物线y23axbx，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113yx与y轴交于点D．求∠DBC∠CBE．12．设△ABC的外心，垂心分别为OH，，若BCHO，，，共圆，对于所有的△ABC，求BAC所有可能的度数．（第11题）13．设a，b，c是素数，记xbcaycabzabc，，，当2,2zyxy时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数12naaa，，…，，满足对任意一个正整数m，在12naaa，，…，中都至少有一个为m的魔术数．2013全国数学联赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a，b，c满足2302340abcabc，，则222abbccaabc的值为（）．（A）12（B）0（C）12（D）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0abcabcabc，故2()0abc．于是2221()2abbccaabc，所以22212abbccaabc．2．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程20axbxc有两个非零实根1x，2x，则下列关于x的一元二次方程中，以211x，221x为两个实根的是（）．（A）2222(2)0cxbacxa（B）2222(2)0cxbacxa（C）2222(2)0cxbacxa（D）2222(2)0cxbacxa【答案】B【解答】由于20axbxc是关于x的一元二次方程，则0a．因为12bxxa，12cxxa，且120xx，所以0c，且221212222221212()2112xxxxbacxxxxc，22221211axxc，于是根据方程根与系数的关系，以211x，221x为两个实根的一元二次方程是222220bacaxxcc，即2222(2)0cxbacxa．3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定．．．是有理数的为（）．（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝2ADBD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．由Rt△DOE∽Rt△COD，知2ODOEOC，·DCDODEOC都是有（第3题答题）（第3题）理数，而AC＝·ADAB不一定是有理数．4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且4BCCF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．（A）3（B）4（C）6（D）8【答案】C【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC．连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB=S△DEC，因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE=S△ACF．因为4BCCF，所以S△ABC=4S△ACF．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：32233333451160xyxyxyxyxy，且xyzxyz，则2013201232的值为（）．（A）607967（B）1821967（C）5463967（D）16389967【答案】C【解答】设201320124m，则20132012433m32323339274593316460mmmmmm，于是2013201232923223333923929245546310360967．二、填空题6．设33a，b是2a的小数部分，则3(2)b的值为．【答案】9【解答】由于2123aa，故32292ba，因此333(2)(9)9b．7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是．【答案】20413【解答】如图，连接AF，则有：45=3AEFAEFBFEBCFAFDAFDCDFSSSBFSSSFDS，354AFDAFDCDFBCFAEFAEFBEFSSSCFSSSFES，（第4题答题）（第7题答题）（第4题）（第7题）解得10813AEFS，9613AFDS．所以，四边形AEFD的面积是20413．8．已知正整数a，b，c满足2220abc，2380abc，则abc的最大值为．【答案】2013【解答】由已知2220abc，2380abc消去c，并整理得228666baa．由a为正整数及26aa≤66，可得1≤a≤3．若1a，则2859b，无正整数解；若2a，则2840b，无正整数解；若3a，则289b，于是可解得11b，5b．（i）若11b，则61c，从而可得311612013abc；（ii）若5b，则13c，从而可得3513195abc．综上知abc的最大值为2013．9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程20xcxd的两根为a，b，一元二次方程20xaxb的两根为c，d，则所有满足条件的数组()，，，abcd为．【答案】(1212)，，，，(00)，，，tt（t为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．abcabdcdacdb由上式，可知bacd．若0bd，则1dab，1bcd，进而2bdac．若0bd，则ca，有()(00)，，，，，，abcdtt（t为任意实数）．经检验，数组(1212)，，，与(00)，，，tt（t为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了支圆珠笔．【答案】207【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，xyxy所以201371(5032)44yyxy，于是14y是整数．又20134()343503xyyy，所以204y，故y的最小值为207，此时141x．三、解答题11．如图，抛物线y23axbx，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113yx与y轴交于点D．求∠DBC∠CBE．【解答】将0x分别代入y113x，23yaxbx知，D(0，1)，C(0，3)，所以B(3，0)，A(1，0)．直线y113x过点B．将点C(0，3)的坐标代入y(1)(3)axx，得1a．…………5分抛物线223yxx的顶点为E(1，4)．于是由勾股定理得BC＝32，CE＝2，BE＝25．因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE．…………10分因此tanCBE=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB，则∠DBO＝CBE．…………15分所以，45DBCCBEDBCDBOOBC．…………20分12．设△ABC的外心，垂心分别为OH，，若BCHO，，，共圆，对于所有的△ABC，求BAC所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论．（i）若△ABC为锐角三角形．因为1802BHCABOCA，，所以由BHCBOC，可得1802AA，于是60A．…………5分（第11题答题）（第11题）△ABC为钝角三（ii）若角形．90A时，因为当1802180BHCABOCA，，所以由180BHCBOC，可得3180180A，于是120A。…………10分当90A时，不妨假设90B，因为2BHCABOCA，，所以由180BHCBOC，可得3180A，于是60A．…………15分（iii）若△ABC为直角三角形．当90A时，因为O为边BC的中点，BCHO，，，不可能共圆，所以A不可能等于90；当90A时，不妨假设90B，此时点B与H重合，于是总有BCHO，，，共圆，因此A可以是满足090A的所有角．综上可得，A所有可能取到的度数为所有锐角及120．…………20分13．设a，b，c是素数，记xbcaycabzabc，，，当2,2zyxy时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．【解答