机械结构有限元分析第二章课后答案-哈工大

习题二2.12.12.12.1解释如下概念：应力、应变、几何方程、物理方程、虚位移原理。答：应力：指该截面上内力在该点处的集度。在截面处取一微小面积A∆，假设作用在A∆上分布的内力的合力为F∆，则AFTA∆∆=→∆0lim，T就是该点处的应力。应变：对于微分单元体的变形，可分为两部分，棱边长度的伸长（或缩短）量为正应变，两棱边间夹角的改变量为剪应变。几何方程：应变分量与位移分量之间存在的关系式一般称为几何方程。[]TTzxyzxyzyxxwzuzvywyuxvzwyvxu⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂==γγγεεεε物理方程：研究应力与应变关系的方程式。[][]TzxyzxyzyxTzxyzxyzyxDγγγεεετττσσσ=式中，D—弹性矩阵，是一个常数矩阵。虚位移原理：一个弹性体在外力和内力作用下处于平衡状态，则对于任何约束允许的虚位移来说，外力所做的虚功等于内力的虚功。2.22.22.22.2说明弹性力学中的几个基本假设。答：弹性力学中的几个基本假设有：（1）连续性假定，指假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。（2）完全弹性假定，指假定物体服从胡克定律，即应变与引起该应变的应力成正比。（3）均匀性假定，指假定整个物体是由同一材料组成的。（4）各向同性假定，指假定物体的弹性在所有各方向上都是相同的。（5）小位移和小变形的假定，指假定物体受力以后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。2.32.32.32.3简述线应变与剪应变的几何含义。答：如图所示，单元体在x方向上有一个xu∆的伸长量，微分单元体棱边的相对变化量就是正应变，假设xε表示x轴方向的正应变，则xuxx∆∆=ε，在y方向上有一个yu∆的伸长量,则yuyy∆∆=ε；剪应变定义为微分单元体棱边之间夹角的变化，即yuxuxyxy∆∆+∆∆=γ。2.42.42.42.4推导平面应力平衡微分方程。解：假定有一物体在外力作用下处于平衡状态。从中取出一微小正六面体进行研究，其棱边尺寸分别为dx,dy,dz。在AA'D'D面上有正应力xσ，在面BB'C'C上有正应力dxxxx∂∂+σσ，在ABB'A'面上有剪应力yxτ，在面DCC'D'上有剪应力dyyyxyx∂∂+ττ，在A'B'C'D'面上有剪应力zxτ，在面ABCD上有剪应力dzzzxzx∂∂+ττ.由于所取的六面体是微小的，其xy面上所受的应力可以认为是均匀的，且作用在各面的中心。另外，若微小六面体除应力之外，还作用有体积力，那么也认为体积力是均匀分布的，且作用在微元体的体积中心。在x方向上，根据平衡方程∑=0xF，有0=+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+Xdxdydzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxyxyxyxxxxτττσσσ整理得0=+∂∂+∂∂Xyxxyxτσ同理可得y方向的平衡微分方程，即0=+∂∂+∂∂Yyxyxyστ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00YyxXyxyxyyxxσττσ∑=0'AAM∵222dxdxdzdyydydzdxdxxdydydzdxxdydydzyyxyxyxxx⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂++⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−∴σσττσσσ02=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+−−dxdzdyydxdxdzyxyxyττσ展开后，略去四阶微量，整理后得到yxxyττ=。2.52.52.52.5如图，被三个表面隔离出来的平面应力状态中的一点，求σ和τ的值。解：αατασασσαcossin2sincos22xyyx−+=)452sin(20)452cos(24024030��×−+×−−−++−=σσMPa140=σMPa30)452(2cos20)452sin(2)40(20−=×−+×−−−=��τ2.62.62.62.6相对于xyzxyzxyzxyz坐标系，一点的应力如下σ====⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−300034046，某表面的外法线方向余弦11/6==yxnn，11/7=zn，求该表面的法向和切向应力。解：正应力zxxzyzzyxyyxzzyyxxnnnnnnnnnnτττσσσσ222222+++++=nσ=4.5MPa222)3117())3(1164116()41166116(×+−×+×+×+×=nT=nT5.5MPaMPaTnnn2.322=−=στ2.72.72.72.7一点的应力如下σ====⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡201010102010101020MPaMPaMPaMPa求主应力和每一个主应力的方向余弦；求该点的最大剪应力。解)2()(22222223zxyyzxxyzzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxτστστστττσσσστττσσσσσσσσσσσ−−−−−−−−+++++−）（得MPa401=σMPa1032==σσ0)(=++−zxzyxyxxnnnττσσ0)(=+−+zyzyyxxynnnτσστ0)(=−++zzyyzxxznnnσσττ得0===zyxnnn2.82.82.82.8已知一点PPPP的位移场为()[]2221043×+++=kbxjyziyu，求该点()2,0,1P的应变分量。解：2210×=yu2103×=yzv2210)4(×+=bxw0=∂∂xu0=∂∂xv2102×=∂∂bxxw2102×=∂∂yyu2103×=∂∂zyv0=∂∂yw0=∂∂zu2103×=∂∂yzv0=∂∂zw点()2,0,1P处，线应变为0=∂∂=xuxε2106×=∂∂=yvyε0=∂∂=zwzε点()2,0,1P处，剪应变为0=∂∂+∂∂=xvyuxyγ0=∂∂+∂∂=ywzvyzγ21012×=∂∂+∂∂=xwzuzxγ2.92.92.92.9一具有平面应力场的物体，材料参数为E、v。有如下位移场()23,bxyaxyxu−=()32,dyycxyxv−=其中，a、b、c、d是常量，求xσ、yσ和xyτ；讨论位移场的相容性解：由23),(bxyaxyxu−=得223byaxxuxx−=∂∂=ε，bxyyu2−=∂∂由32),(dyycxyxv−=得223dycxxvyy−=∂∂=ε，cxyyv2=∂∂cxybxyxvyuxy22+−=∂∂+∂∂=γ由()µ+=12Ev得，12−=vEµ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂−=22232323441yvEdbxcvEcaEvvyvxuExµµσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂−=22223323441ybvEbdxavaEcEvvxuyvEyµµσ()()bcvxyyuxvExy−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+=212µτbcxyvyxuxyyx2223232222−=∂∂∂+∂∂∂=∂∂+∂∂εεbcyxxy222−=∂∂∂γ所以满足yxxyxyyx∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222的相容方程2.102.102.102.10一具有平面应力场的物体，材料参数为E、v。有如下位移场()332201030,yyxxyxu+−=()23252010,yxyxyxv++=当mx050.0=、my020.0=时，求物体的应力和应变。位移场是否相容？解：yxxxu23060−=∂∂321060xyyu−=∂∂32020yxxv+=∂∂yxyyv10602+=∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂−=yvxuExµµσ21705.9MPa=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂−=xuyvEyµµσ21254MPa()=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+=yuxvExyµτ1282.62MPa由相容方程yxxyxyyx∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222得，023=∂∂∂yxu023=∂∂∂xyv0)(2=∂∂+∂∂∂∂∂xvyuyx则可以知道相容2.11对于一个没有任何体积力的薄圆盘，处于平面应力。其中cxybxayx−+=23σ、edyy−=3σ、hygxfxyxy−+=22τaaaa、bbbb、cccc、dddd、eeee、ffff、gggg、hhhh是常量。为了使应力场满足平衡方程和相容方程，这些常量的约束条件是什么？解：cbyxxx−=∂∂2σ0=∂∂xyσbyxx222=∂∂σ022=∂∂xyσ223bxayyx+=∂∂σ23dyyy=∂∂σayyx622=∂∂σdyyy622=∂∂σ得06dy06ay2by=+++即03d3ab=++2.122.122.122.12如题图2.22.22.22.2所示，悬臂梁在三角形分布载荷作用下的应力公式为⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=xycxycqcyxqx2333356244σ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=cycyqxxqy434233σ()()()22234432232534883ycccqyccqyccqxxy−+−−−=τ检验平衡微分方程是否满足，检验静力边界条件是否满足。解：（1）⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=∂∂ycycqcyxqxx23332562443σ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∂∂ccyqxyy434332σ()22386yccqxxxy−=∂∂τcqycqycyqxyxy1032863332−+−=∂∂τ可知满足平面问题的平衡微分方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00xyyxxyyxyxτστσ（2）方向余弦为0270cos==�xn，10cos==�yn由柯西公式得⎪⎩⎪⎨⎧−=−×+⋅−===+=qxqxqFnnFyyyxyxxx)4341(20στσ所以满足静力边界条件。2.132.132.132.13根据弹性力学平面问题的几何方程，证明应变分量应满足下列方程yxxyxyyx∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222并解释该方程的意义。证明：已知平面问题的几何方程为xux∂∂=εyvy∂∂=εxvyuxy∂∂+∂∂=γ，前两项分别对x和y求二阶偏导，有)(223232222xvyuyxxyvyxuxyyx∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂∂+∂∂∂=∂∂+∂∂εε又因为xvyuxy∂∂+∂∂=γ，所以可以得到yxxyxyyx∂∂∂=∂∂+∂∂γεε222222.142.142.142.14假设AiryAiryAiryAiry应力函数为45342233241yaxyayxayxaxa++++=ϕ，其中ia为常数，求xσ、yσ和xyτ；并求这些常量间的约束关系。解：由45342233241yaxyayxayxaxa++++=ϕ，可以得到25423221262yaxyaxayx++=∂∂=ϕσ23221222612yaxyaxaxy++=∂∂=ϕσ243222343yaxyaxayxxy++−=∂∂∂−=ϕτ由相容方程yxxyxyyx∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222得：066531=++aaa2.16一点处的应力状态由应力矩阵给出，即σ====⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−401020102515201530MPaMPaMPaMPa，若E=70GPa,E=70GPa,E=70GPa,E=70GPa,v=0.33,求单位体积的应变能。解：[]))(1(2)(221222222xzyzxyzxzyyxzyxEuτττµσσσσσσµσσσ++++++−++=[])201015)(33.01(2)403040)25()25(30(3.0240)25(301070212222223++++×+×−+−××−+−+××==0.039