染色问题

1什么是染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法。染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关8个顶点。两面染色和棱长有关。即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关。同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*60面染色和体积有关。用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。染色问题的解题思路染色问题是数奥解题中的难点，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，下面就染色问题的解题思路说一下。2图一首先，拿到一道题先认真观察，看这个题的突破点。什么是染色问题的突破点呢？那就是找染色区域中的一个最多，这个最多是指一个区域，其他区域与它连接的最多。例如图一中A区域A与B、C、D、E、F连接最广所以A为特殊区域。找到这个区域问题就容易解决了。这个区域可以任意添色就是染最多的颜色。本题中有4种颜色那么A可以染4种颜色了。完成这个事件需要A、B、C、D、E、F6步所以用乘法原理。这道题找到了最特殊的A区域第二特殊区域和第三区域的确定也就容易了，C区域是与A相连，连接区域的数量仅次于A区域图一中的C和E区域都可以做第二个特殊区域了，但只能选一个，我们把C当成第二特殊的区域，则C可以染3种颜色。区域B跟A、C相连那么B可以染2种。D与A、C、E相连则只能选1种，对吗？我们仔细观察，按顺序说A----4，C------3，B-------2，D则连接A、C当A选色后C有3种可能，D在A、C选色后只有2种可能。E连接A、D也有两种可能。F也是连接着A、E有两种可能。这道题就解出来了。有4×3×2×2×2=96种可能。这道题跟以下一道题有异曲同工之效，大家不妨一起看下图二。图二图中A与B、C相连有4种染色方式，为第一特殊区域。而B是与A相连的第二特殊区域（切记，此时选第二特殊区域，乃是跟第一特殊区域相连的一个区域）B有3种可能，C连接A、B则有2种可能，D连接B、C则有2种可能，同理E也有2种可能。所以此题有4×3×2×2×2=96种可能的染色。再来看一个稍微复杂点的问题如图三3图三图中A有5种染色方式C------4，B-----3，D-----3，E------3，F------3，G------3。这道题首先应当注意染色的顺序，先选第一特殊区域，再看跟A相连的区域中的第二特殊区域。还有一道更复杂的题，图四有5种颜色，图中个区域染不同的颜色，问有几种染色方式。还依照前面的思路过程解，首先看哪个区域是图中与其他区域相连最多的当成第一特殊区域，A为这个区域，其次为B，C和D为对称的哪个为第三特殊区域都可以，我们把D看成第三特殊区域，最后为C、E、F。分好各个区域就开始解题，A有5种颜色可以用，B则有4种，D有3种，C则有2种，F就复杂了，它的颜色受制于E、C，则E跟C相同的有2种颜色可以选（因为C有2种颜色选择），跟C不同的有4种颜色选择（因为A、D的颜色确定了，E有5-2=3种，则E与C的搭配有2×3=6种颜色可以选择，E不考虑与C相同则有6-2=4种颜色可以选择），。所以E和C的颜色确定了，最后考虑F，若E和C同色，则F有5-2=3种颜色可以选择，若E和C异色则F有5-3=2种颜色选择。那么当E和C同色时F有2×3=6种可以选择，当E和C异色是则F有4×2=8种可以选择，那么这道题就出来了染色的方式有5×4×3×2×3+5×4×3×4×2=840种方式。下面再简略的看一道此类问题，如图四，4种颜色相邻的区域染不同的颜色，有几种不同的染色方式。还按照以前的思索方式，首先选第一特殊区域，则A为所选，A有4种染色方式，其次，C为第二特殊区域，我们可以按4图五A、C、B、E、D的方式解。则C有3种染色方式。则B有2种染色方式，E跟B对称则E跟B相同则有2种染色方式，E和B不同则有则有2种染色方式。则E的染色方式为2×2=4。则D的染色依靠B、E，那么B、E同色B、E有2种方式，不同色B、E有4-2=2种方式，D的染色依靠B、E的染色，若B、E同色则D有4-2=2种染色方式，若B、E不同则D有4-3=1种方式，那么在B、E同色时D染色方式有2×2=4，在B、E异色时D有2×1=2种，则依据上面的思路我们可以求出此题的解4×3×2×2+4×3×2×1=48+24=72种方式。总之，染色问题也有路可循，分清了问题中的第一特殊区域，以及依次的各个区域问题就迎刃而解了。其中最关键的部分是找特殊区域，不要找错了，如例四若让B当第二特殊区域就不会得到正确答案了。染色问题的例题讲解一（区域染色问题）56染色问题例题讲解2（点染色问题）7染色问题例题讲解3（线段染色问题）8染色问题例题讲解4（面染色问题）9六年级染色问题：难度：中难度下图是由14个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？10分析：将这14个小方格黑白相间染色（见下图），有8个黑格，6个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。六年级染色问题：难度：高难度下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？分析：将40个小正方形剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个1×2的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑、白格数目不等，而1×2的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到。1.如图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门．有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？11解析：对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的房染成白色，则图中有7个黑色房间和5个白色房间．如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等．故题中的想法是不能实现的．点评：完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线，看是否能够找到．1．难度：★★★★★在下图的每个区域内涂上A、B、C、D四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有__________种不同的染色方法．【解析】因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有种染色方法．如下图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．