2020年江苏中考数学重难点复习05-利用“胡不归、阿氏圆”最值问题

提分微课（五）利用“胡不归、阿氏圆”解决“PA+n·PB”型的最值问题“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决“PA+n·PB”(n为常数且n≠1)型的最值问题.两类问题所蕴含的都是数学的转化思想,即将nPB的长度转化为某条具体线段PC的长度,进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离.动点P在直线上运动的可用“胡不归”问题模型,动点P在圆周上的运动可用“阿氏圆”问题模型.类型一“胡不归”问题如图W5-1,已知A是直线BC外一点,A,B为定点,P在BC上运动,求AP+nPB(0n1)的最小值.图W5-1解决方法:在B处构造直线l,使l与BC的夹角为α,且满足sinα=n,过P向l作垂线,垂足为Q,则PQ=nPB,过A向直线l作垂线,分别交BC,l于Pmin,Qmin两点,于是AP+nPB=AP+PQ≥AQmin.图W5-21.[2019·长沙]如图W5-2,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+55BD的最小值是()A.25B.45C.53D.10[答案]B[解析]如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,∵tanA=𝐵𝐸𝐴𝐸=2,∴设AE=a,则BE=2a,则有:100=a2+4a2,∴a2=20,∴a=25或-25(舍去),∴BE=2a=45.∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,∴CM=BE=45(等腰三角形两腰上的高相等).∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA=90°,∴sin∠DBH=sin∠ABE=𝐷𝐻𝐵𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐵=55,∴DH=55BD,∴CD+55BD=CD+DH,∵CD+DH≥CM,∴CD+55BD≥45,∴CD+55BD的最小值为45.故选B.图W5-32.如图W5-3,四边形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=60°,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,则AM+12BM的最小值为.[解析]如图,作AN⊥BC,垂足为N,交BD于M,∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°,∴∠DBC=30°,sin∠DBC=12=𝑀𝑁𝐵𝑀,∴12BM=MN,∴AM+12BM=AM+MN,∴AM+12BM的最小值为AN.在Rt△ABN中,AN=AB·sin∠ABC=4×32=23.∴AM+12BM的最小值为23.[答案]23图W5-43.如图W5-4,△ABC在平面直角坐标系中,AB=AC,A(0,22),C(1,0),B在x轴上,D为射线AO上一点,一动点P从点A出发,运动路径为A-D-C.点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个过程运动时间最少,则点D坐标为.[解析]设点P在AD上运动速度是v,则在CD上运动速度是𝑣3.t=𝐴𝐷𝑣+𝐶𝐷𝑣3=1𝑣(AD+3CD),若t最小,则AD+3CD最小.又AD+3CD=313AD+CD,即求13AD+CD取最小值时,点D的坐标.作CE⊥AB于E,与直线AD交于D',结合对称性可知ED'=13AD',故D'即为所求.∵S△ABC=12AO·BC=12CE·AB,BC=2OC=2,∴CE=423.易得△BEC∽△COA,∴𝐵𝐸𝐵𝐶=𝐶𝑂𝐴𝐶=13,∴BE=23,易得△OD'C∽△EBC.∴𝐵𝐸𝑂𝐷'=𝐶𝐸𝑂𝐶,∴OD'=23×342=24.∴所求点D的坐标为0,24.[答案]0,24图W5-5[解析]满足题意的P点作法为:过D点作DE⊥AB于E点,交OB于点P,由题意易知∠ABO=30°.∴PE=12PB,∴12PB+PD=PE+PD=DE.∵S△ABD=12AD·OB=12AB·DE,∴DE=32×32=334.[答案]3344.[2016·徐州节选]如图W5-5,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,-3),C(2,0),其中对称轴与x轴交于点D.若P为y轴上的一个动点,连接PD,则12PB+PD的最小值为.5.[2017·徐州二模节选]如图W5-6,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴交于A,C两点,点C(3,0),与y轴交于点B(0,-3),若P是x轴上一动点,点D(0,1)在y轴上,连接PD,求2PD+PC的最小值.图W5-6解:作PH⊥BC于H,DH'⊥BC于H',交OC于P',∵OB=OC=3,∠BOC=90°,∴∠PCH=45°.在Rt△PCH中,PH=22PC.∵2PD+PC=2PD+22PC=2(PD+PH),∴当D,P,H共线时,2DP+PC最小,最小值为2DH'.在Rt△DH'B中,∵BD=4,∠DBH'=45°,∴DH'=22BD=22,∴2PD+PC的最小值为2×22=4.类型二“阿氏圆”问题如图W5-7所示,☉O的半径为r,点A,B都在☉O外,P为☉O上的动点,已知r=k·OB.连接PA,PB,求“PA+k·PB”的最小值.解决方法:找另一个定点C,使得P在圆周上运动时,总有PC=kPB,这样就可以将问题转化为常见的求线段PA+PC和的最小值问题.如图,在线段OB上截取OC,使OC=kr,则可说明△BPO与△PCO相似,得kPB=PC.则本题求“PA+kPB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值,当A,P,C三点共线,且P在线段AC上时最小.图W5-76.(1)如图W5-8①,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,PD+12PC的最小值为,PD-12PC的最大值为.(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+23PC的最小值为,PD-23PC的最大值为.(3)如图③,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+12PC的最小值为,PD-12PC的最大值为.图W5-8[答案](1)55[解析]如图①中,在BC上取一点G,使得BG=1.∵𝑃𝐵𝐵𝐺=2,𝐵𝐶𝑃𝐵=2,∴𝑃𝐵𝐵𝐺=𝐵𝐶𝑃𝐵,又∵∠PBG=∠PBC,∴△PBG∽△CBP,∴𝑃𝐺𝑃𝐶=𝐵𝐺𝑃𝐵=12,∴PG=12PC,∴PD+12PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,∴当D,G,P共线,且P在线段DG上时,PD+12PC的值最小,最小值为DG=5.∵PD-12PC=PD-PG≤DG,∴当点P在DG的延长线上时,PD-12PC的值最大(如图②),最大值为DG=5.6.(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+23PC的最小值为,PD-23PC的最大值为.图W5-8[解析]如图③中,在BC上取一点G,使得BG=4.∵𝑃𝐵𝐵𝐺=64=32,𝐵𝐶𝑃𝐵=96=32,∴𝑃𝐵𝐵𝐺=𝐵𝐶𝑃𝐵,又∵∠PBG=∠PBC,∴△PBG∽△CBP,∴𝑃𝐺𝑃𝐶=𝐵𝐺𝑃𝐵=23,∴PG=23PC,∴PD+23PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,∴当D,G,P共线,且P在线段DG上时,PD+23PC的值最小,最小值为DG=𝐷𝐶2+𝐺𝐶2=92+52=106.∵PD-23PC=PD-PG≤DG,∴当点P在DG的延长线上时,PD-23PC的值最大,最大值为DG=106.[答案](2)1061066.(3)如图③,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+12PC的最小值为,PD-12PC的最大值为.图W5-8[解析]如图④中,在BC上取一点G,使得BG=1,作DF⊥BC延长线于F.∵𝑃𝐵𝐵𝐺=2,𝐵𝐶𝑃𝐵=2,∴𝑃𝐵𝐵𝐺=𝐵𝐶𝑃𝐵,又∵∠PBG=∠PBC,∴△PBG∽△CBP,∴𝑃𝐺𝑃𝐶=𝐵𝐺𝑃𝐵=12,∴PG=12PC,∴PD+12PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,[答案](3)3737∴当D,G,P共线,且P在线段DG上时,PD+12PC的值最小,最小值为DG长,在Rt△CDF中,∠DCF=60°,CD=4,∴DF=CD·sin60°=23,CF=2,在Rt△GDF中,DG=(23)2+52=37.∴PD+12PC的最小值为37.∵PD-12PC=PD-PG≤DG,∴当点P在DG的延长线上时,PD-12PC的值最大,最大值为DG=37.图W5-9[解析]记BC与☉C交于点E.取CE中点D,∵𝐶𝐷𝐶𝑃=12,𝐶𝑃𝐶𝐵=24=12,∴𝐶𝐷𝐶𝑃=𝐶𝑃𝐶𝐵,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP,∴𝑃𝐷𝑃𝐵=𝐶𝐷𝐶𝑃=12,∴PD=12PB,则AP+12PB的最小值化归于PA+PD的最小值,所以P,D,A三点共线,且P位于线段AD上时最小,最小值为AD=𝐴𝐶2+𝐶𝐷2=32+12=10.[答案]107.如图W5-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,☉C的半径为2,点P是☉C上的一动点,则AP+12PB的最小值为.图W5-108.如图W5-10,点A,B在☉O上,OA=OB=6,且OA⊥OB,点C是OA的中点,点D在OB上,且OD=4,动点P在☉O上,则2PC+PD的最小值为.[解析]连接OP,在射线OA上截取AE=6.∵𝑂𝐶𝑂𝑃=36=12,𝑂𝑃𝑂𝐸=612=12,∴𝑂𝐶𝑂𝑃=𝑂𝑃𝑂𝐸,又∵∠COP=∠POE,∴△OPC∽△OEP.∴𝑃𝐶𝑃𝐸=𝑂𝐶𝑂𝑃=12,∴PE=2PC.∴2PC+PD=PE+PD,∴当P,D,E三点共线,且P在线段DE上时所求值最小.在Rt△OED中,DE=410,故2PC+PD的最小值为410.[答案]4109.[2018·柳州]如图W5-11,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3,0),B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,且OB=3OA=3OC,∠OAC的平分线AD交y轴于点D,过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E,点P是x轴下方抛物线上的一个动点,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,交直线AD于点H.(1)求抛物线的解析式;(2)设点P的横坐标为m,当FH=HP时,求m的值;(3)当直线PF为抛物线的对称轴时,以点H为圆心,12HC为半径作☉H,点Q为☉H上的一个动点,求14AQ+EQ的最小值.图W5-11解:(1)∵OB=3OA=3OC,A(3,0),∴点B,C的坐标分别为(-33,0),(0,-3).设抛物线的解析式为y=a(x+33)(x-3),代入点C的坐标,得:-3=a·33×(-3),解得:a=13.故该抛物线的解析式为y=13(x+33)(x-3)=13x2+233x-3.9.[2018·柳州]如图W5-11,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3,0),B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,且OB=3OA=3OC,∠OAC的平分线AD交y轴于点D,过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E,点P是x轴下方抛物线上的一个动点,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,交直线AD于点H.(2)设点P的横坐标为m,当FH=HP时,求m的值;图W5-11(2)在Rt△AOC中,tan∠OAC=𝑂𝐶𝑂𝐴=3,∴∠OAC=60°.又∵AH是∠FAC的平分线,∴∠FAH=30°,则AF=3FH.由点P的横坐标为m,可知它的纵坐标为13m2+233m-3.∴AF=3-m,PF=3-13m2-233m.∴FH=33AF=33(3-m).∵FH=HP,则PF=2FH,∴233(3-m)=3-13m2-233m,解得:m=3(舍去)或m=-3.故m的值为-3.9.[2018·柳州]如图W5-11,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3,0),B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,且OB=3OA=3OC,∠OAC的平分线AD交y轴于点D,过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E,点P是x轴下方抛物线上