(基本不等式)公开课教案

基本不等式:2abab授课人:祁玉瑞授课类型：新授课一、知识与技能：使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。过程与方法：通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。情感态度与价值观：在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。二、重点及难点重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程。难点：基本不等式2abab等号成立条件。三、教学过程1.课题导入基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22ab。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为22ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab。2．得到结论：一般的，如果)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为222)(2baabba当22,()0,,()0,abababab时当时所以，0)(2ba，即.2)(22abba4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2abab特别的，如果a0,b0,我们用分别代替a、b，可得2abab，通常我们把上式写作：(a0,b0)2abab2）从不等式的性质推导基本不等式2abab用分析法证明：3）理解基本不等式2abab的几何意义探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝ab.这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式2abab几何意义是“半径不小于半弦”.在数学中，我们称2ba为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.四、范例讲解课本p99页，例1五、课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（2ba），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤222ba，ab≤（2ba）2.六、作业课本第100页习题[A]组的第1题