§3.4向量的内积与正交化

一向量的内积定义1设n维向量x(x1x2xn)Ty(y1y2yn)T令(xy)x1y1x2y2xnyn(xy)称为向量x与y的内积说明1.内积是两个向量之间的一种运算其结果是一个实数.用矩阵记号表示为：(xy)xTy=x1y1x2y2xnyn2.n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积的推广，但没有直观的几何意义．§34向量的内积与正交化内积的性质设xyz为n维向量为实数则(1)(xy)(yx)(2)(xy)(xy)(3)(xyz)(xz)(yz)(4)(x,x)≥0,当且仅当x0时(xx)0.(5)(xy)2(xx)(yy)——施瓦茨不等式(5)的证明：定义2令||x||称为n维向量x的模(或长度,范数)向量的长度的性质设xy为n维向量为实数则(1)非负性当x0时||x||0当x0时||x||0(2)齐次性||x||||||x||(3)三角不等式||xy||||x||||y||特别,当||x||1时称x为单位向量当时，称为x的单位化向量.x01||||xx22212(,)Tnxxxxxxxx称为n维向量x与y的夹角定义3当x0y0时当(xy)0时称向量x与y正交显然若x0则x与任何向量都正交.1,5,1,33,2,2,1的夹角与求向量例解cos2262318.40xy||x||||y||(,)arccos,二向量组的正交化若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．例如向量组0021211e0021212e2121003e2121004e是R4的一个正交向量组定理若n维向量a1a2ar是一组两两正交的非零向量则a1a2ar线性无关设有12r使1a12a2rar0以a1T左乘上式两端得1a1Ta10因a10故a1Ta1||a1||20从而10类似可证23r0因此向量组a1a2ar线性无关证明设向量组a1a2ar线性无关要找一组两两正交的单位向量e1e2er使e1e2er与a1a2ar等价,这个过程称为把向量组a1a2ar规范正交化施密特正交化方法设向量组a1a2ar线性无关取向量组容易验证b1b2br两两正交且b1b2br与a1a2ar等价把b1b2br单位化即得一个规范正交向量组111||||1bbe222||||1bberrrbbe||||111ab1222111(,)(,)bababbb121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)rrrrrrrrrbababababbbbbbbbb例1设a1(121)Ta2(131)Ta3(410)T试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化解令b1a1再令e1e2e3即为所求12161||||111bbe11131||||222bbe10121||||333bbe1113512164131],[],[1112122bbbabab10121113512131014],[],[],[],[22221113133bbbabbbbabab12161||||111bbe11131||||222bbe10121||||333bbe12161||||111bbe11131||||222bbe10121||||333bbe12161||||111bbe11131||||222bbe10121||||333bbe12161||||111bbe11131||||222bbe10121||||333bbe12161||||111bbe11131||||222bbe10121||||333bbe132333121122(,)(,)(,)(,)babababbbbbb1222111(,)(,)bababbb三正交矩阵如果n阶矩阵A满足ATAI(即A1AT)那么称A为正交矩阵，简称正交阵定理：方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量且两两正交证明：TAAInnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212222111211212221212111I,,,TTnTnI1212111122221212TTTnTTTnTTTnnnnInjijijiijjTi,,2,1,,0;,1当当正交矩阵举例2121000021212121212121212121P正交矩阵的性质(1)若A为正交阵则A1AT也是正交阵且|A|1(2)若A和B都是正交阵则AB也正交阵正交变换若P为正交矩阵则线性变换yPx称为正交变换设yPx为正交变换则有||||||||xxxxxyyyTTTTPP特点：经正交变换线段的长度保持不变，(从而三角形的形状保持不变)。