14--5-20-学年第一学期《复变函数与积分变换-》期终考试-…

2014-2015学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1同济大学课程考核试卷（A卷）2014—2015学年第一学期命题教师签名：审核教师签名：课号：122144课名：复变函数与积分变换考试考查：考试此卷选为：期中考试()、期终考试(√)、重考()试卷年级专业学号姓名任课教师____题号一二三四五六总分得分（注意：本试卷共六大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）1.(10%)证明：若|z|=1(z≠1)，则Re[11−z]=12.2.设u(x,y)=x3−3xy2，v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。(1)(6%)若v(0,0)=0，求v(x,y).(2)(9%)设f(z)=(u(x,y)+iv(x,y))2，证明f(z)是解析函数且uv是调和函数。.(3)(5%)设C是以(1−cos𝑡,sin2𝑡),(0≤𝑡≤𝜋)为参数方程的有向曲线，求积分∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶.2014-2015学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--23.设f(z)=𝑒𝑧−1𝑧(1−𝑧)(1)(7%)求f(z)在z=0点的Taylor级数的前两个非零项。(2)(7%)求f(z)在z=1点的Laurent级数的前两个非零项。(3)(6%)以下极限lim𝑧→∞𝑓(𝑧)是否存在，证明你的结论。4.(1)(10%)求积分∫𝑑𝑧z2sin𝑧|𝑧|=4(2)(10%)求以下函数的Fourier变换f(x)=1x2+4𝑥+52014-2015学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--35.(10%)求解微分方程的初值问题x′′(t)−6x′(t)+5x(t)=cos𝑡,x(0)=0,x′(0)=0.6.(1)(5%)求在变换w=(z−a+bi)/(z+a+bi)下，{Rez0}的像,这里a为正数，b为实数。(2)(5%)证明：T0(z)=a0z+a0+ib0将半平面{Rez0}映射为圆盘{|w−12|12}，这里a0为正数，b0为实数。(3)(5%)证明：Tk(z)=akz+zk+ibk(𝑘≥1)将半平面{Rez0}映射为包含于{Rez0}中的区域,这里ak是正数，bk为实数，且Rez𝑘≥0.(4)(5%)证明：若有理函数f(z)可以写为复合函数𝑇0∘𝑇1∘⋯∘𝑇𝑛(𝑧),这里𝑇0,𝑇1,…,𝑇𝑛如(2)(3)中所定义，则f(z)的一切极点的实部均为负数。2013-2014学年第二学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1同济大学课程考核试卷（A卷）2013—2014学年第二学期命题教师签名：审核教师签名：课号：122144课名：复变函数与积分变换考试考查：考试此卷选为：期中考试()、期终考试(√)、重考()试卷年级专业学号姓名任课教师____题号一二三四五六总分得分（注意：本试卷共六大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）1.(24%)定义双曲函数sinh𝑧=12(𝑒𝑧−𝑒−𝑧)，cosh𝑧=12(𝑒𝑧+𝑒−𝑧)(1)(8%)计算它们的导数（要求仍用双曲函数表示）。(2)(8%)这两个函数是否有零点？说明理由。(3)(8%)求出cosh𝑧sinh𝑧在扩充复平面上一切孤立奇点的类型2.(16%)设f(z)为解析函数。(1)(4%)以下哪个函数可能是f(z)的实部？A.x2+y2B.x2y2C.1x2+y2+1D.x2−y2(2)(6%)在第（1）题基础上，进一步要求f(1)=1，求f(z)。(3)(6%)求积分∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶这里C为连接(0,0)和(2,0)的半圆弧。2013-2014学年第二学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--23.(24%)设f(z)=sin𝑧1−𝑧(1)(8%)求f(z)在0点的Taylor展开式中前三个非零项。(2)(8%)求f(z)在1点的Laurent展开式中前三个非零项。(3)(8%)求积分∫𝑑𝑧𝑓(𝑧)|𝑧|=14.(1)(8%)求积分∫𝑑𝜃5+3cos2𝜃2𝜋0(2)(8%)求函数f(x)={1−|𝑥|−1𝑥10x为其他值的Fourier变换。2013-2014学年第二学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--35.(10%)求解微分方程初值问题x′′(t)+4x(t)=et,x(0)=0,x′(0)=0.6.(10%)证明：对任何一条给定的落在单位圆内部，且与单位圆正交的圆弧，必定存在一个由单位圆盘到其自身的分式线性变换，将该圆弧变为区间[-1,1]。2013-2014学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1同济大学课程考核试卷（A卷）2013—2014学年第一学期命题教师签名：审核教师签名：课号：122144课名：复变函数与积分变换考试考查：考查此卷选为：期中考试()、期终考试(√)、重考()试卷年级专业学号姓名任课教师____题号一二三四五六七总分得分（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）1.(10%)已知𝑓(𝑧)=𝑧−4𝑧−1，求一切使得𝑓(𝑧)=𝑧成立的自变量的值。2.(1)(4%)已知：u(x,y)=excos𝑦+𝑒−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦，证明：u(x,y)为调和函数。(2)(6%)求u(x,y)的共轭调和函数𝑣(𝑥,𝑦)。(3)(6%)记f(z)=u(x,y)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦)，若f′′(z)=f(z)，求𝑣(0,0)。(4)(4%)对上述f(z)，求其沿曲线(cos𝑡,𝑡2+1)的积分，这里0≤t≤1。2013-2014学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--23.(1)(8%)求𝑒−𝑧𝑧−1在0点邻域上的Taylor级数（至少写出前4个非零项）。(2)(12%)求出zez−e−z在复平面上的一切孤立奇点，并指出其类型。4.(1)(10%)求积分∫𝑑𝑧𝑧sin𝑧|𝑧|=4(2)(10%)求函数f(x)=e−|x+1|的Fourier变换。2013-2014学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--35.(10%)求解微分方程初值问题x′′(t)−2x′(t)+x(t)=1,x(0)=0,x′(0)=−1.6.(10%)求将复平面的第一象限变为单位圆盘的共形映照。7.若分式线性变换𝑓(𝑧)=𝑎𝑧+b𝑐𝑧+𝑑中，系数a,b,c,d均为整数，且𝑎𝑑−𝑏𝑐=1，则𝑓(𝑧)称为模变换。(1)(5%)证明：若𝑓(𝑧)是模变换，则其逆变换𝑓−1(𝑧)也是模变换。(2)(5%)证明：若𝑓1(𝑧),𝑓2(𝑧)都是模变换，则𝑓1(𝑓2(𝑧))也是模变换。2012-2013学年第二学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1同济大学课程考核试卷（A卷）2012—2013学年第二学期命题教师签名：审核教师签名：课号：122144课名：复变函数与积分变换考试考查：考试此卷选为：期中考试()、期终考试(√)、重考()试卷年级专业学号姓名任课教师____题号一二三四五六七总分得分（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）1.(10%)关于z的方程sin𝑧=𝑐，是否对一切复数c都有解？说明理由。2.(1)(4%)设u(x,y)=x3+𝑘𝑥𝑦2，求实数k，使得u(x,y)为调和函数。(2)(4%)求函数v(x,y)，使得f(z)=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦)解析，且f(0)=0。(3)(7%)求积分∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝐶这里C为连接(0,0)和(π,0)的正弦曲线y=sinx.2012-2013学年第二学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--23.(1)(8%)求ez𝑧+1在0点的Taylor展开，展开至三次方项。(2)(8%)求出1cos1𝑧在扩充复平面上一切孤立奇点的类型。4.(1)(8%)求积分∫𝑑𝑧(𝑧2−2𝑧+1)sin𝑧|𝑧+1|+|𝑧|=3(2)(8%)求积分∫𝑑𝑥1+𝑥2+𝑥4+∞05.(1)(8%)求函数f(x)={10𝑥10x为其他值的Fourier变换。2012-2013学年第二学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--3(2)(10%)求解微分方程初值问题x′′(t)−4x(t)=et,x(0)=1,x′(0)=0.6.(10%)写出一个将区域D={z:|z|2,Imz0}映为上半平面，且将i仍映为i的共形映照。7.设y(x)在原点解析，且满足微分方程(1−x2)𝑦′′(𝑥)−2𝑥𝑦′(𝑥)+𝑛(𝑛+1)𝑦(𝑥)=0，这里n为正整数。(1)(5%)若y(0)=1，y’(0)=0，求y(x)在原点的Taylor展开式（展至2次项）。(2)(5%)若y(0)=0，y’(0)=1，求y(x)在原点的Taylor展开式（展至3次项）。(3)(5%)证明：对(1)(2)中的y(x)，有且仅有一个是多项式。2012-2013学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1同济大学课程考核试卷（A卷）2012—2013学年第一学期命题教师签名：审核教师签名：课号：122144课名：复变函数与积分变换考试考查：考查此卷选为：期中考试()、期终考试(√)、重考()试卷年级专业学号姓名任课教师____题号一二三四五六七总分得分（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）1.(10%)求方程z3=(𝑧+1)3的一切复数解.2.(1)(8%)证明：若u(x,y)在区域D上调和，则函数f(z)=∂u∂x−𝑖∂u∂y在D上解析.(2)(7%)设u(x,y)=excos𝑦，求积分∫𝑓(𝑧)𝑧2𝑑𝑧|𝑧|=2(3)(5%)设u和v均在区域D上调和，则其乘积函数uv是否一定在D上调和？说明理由。2012-2013学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--23.(1)(8%)求𝑧(1−𝑧)2在0点邻域上的Taylor级数，并指出其收敛半径。(2)(8%)求出tan𝑧在扩充复平面上的一切孤立奇点，并指出其类型。4.(1)(8%)求积分∫𝑑𝑧(𝑧2+2𝑧−3)sin𝑧|𝑧|=2(2)(8%)求积分∫𝑑𝑥1+sin2𝑥2𝜋05.(1)(8%)求函数f(t)=1𝑡4+1的Fourier变换。2012-2013学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--3(2)(10%)求解微分方程初值问题x′′(t)−5x′(t)+6x(t)=0,x(0)=1,x′(0)=−1.6.(10%)求将单位圆盘映到右半平面且将–i映到原点的分式线性变换。7.设f(z)为定义在单位圆盘上的解析函数，且满足f(0)=0，|f(z)|≤1。定义F(z)=𝑓(𝑧)𝑧（当z≠0时），F(0)=f′(0).(1)(5%)证明：F(z)在单位圆盘上解析。(2)(5%)证明：|f(z)|≤|z|且|f′(0)|≤1，进一步若对某个z≠0成立|f(z)|=|z|或|f′(0)|=1，则必有f(z)=e𝑖𝜃z，这里θ为实常数。(提示：利用最大模原理)