(江苏专版)2019版高考数学一轮复习-第二章-函数的概念与基本初等函数Ⅰ-第九节-函数模型及应用实

节函数模型及应用本节主要包括2个知识点：1.基本初等函数模型；2.两类特殊函数的模型.突破点(一)基本初等函数模型02突破点(二)两类特殊函数的模型课时达标检测030101突破点（一）基本初等函数模型基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种基本初等函数模型的性质函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调____单调____单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与____平行随x的增大，逐渐表现为与____平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax递增递增y轴x轴考点贯通抓高考命题的“形”与“神”二次函数模型[例1](2018·启东中学模拟)某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每个下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)当140＜a≤280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)[解](1)y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－1100x2＋a100－140100x＋a.因为a－x≥3a4，所以x≤a4.故x的取值范围0≤x≤a4且x∈N*.(2)y＝－1100x－a2－702＋1100a2－702＋a，当140＜a≤280时，0＜a2－70≤a4，若a为偶数，则当x＝a2－70时，y取最大值；若a为奇数，则当x＝a＋12－70或x＝a－12－70时，y取最大值，因尽可能少裁员，所以x＝a－12－70，所以当a为偶数时，应裁员a2－70人；当a为奇数时，应裁员a－12－70人．[易错提醒]在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．指数函数、对数函数模型[例2](1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．(2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：①PA≥1；②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5＜PA＜5.5(注：lg2≈0.3)．则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)[解析](1)由已知条件得，192＝eb，∴b＝ln192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝4819212＝1412＝12.设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×123＝24.(2)当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝10105×104＝2×105，∴PA＝lgnA＝lg2＋5.又∵lg2≈0.3，∴5＜PA＜5.5，故③正确．[答案](1)24(2)③[方法技巧]两种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2018·汇龙中学模拟)某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10，x∈N)．所以当x＝4时，ymax＝340.即预计单价为10元/件时，利润最大．答案：102.[考点二]某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则到第7年年底它们将发展到________只．解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.答案：3003.[考点二]燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5log2q10(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________个单位．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________m/s.解析：由题意，燕子静止时v＝0，即5log2q10＝0，解得q＝10；当q＝80时，v＝5log28010＝15(m/s)．答案：10154.[考点二]调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，解得n≥log215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：45.[考点一](2018·常州期末)某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x－k＋4500xL，其中k为常数，且60≤k≤100.(1)若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过9L，求x的取值范围；(2)求该汽车行驶100km的油耗的最小值．解：(1)由题意，当x＝120时，15x－k＋4500x＝11.5，所以k＝100.由15x－100＋4500x≤9，得x2－145x＋4500≤0，所以45≤x≤100.又因为60≤x≤120，所以x的取值范围是[60,100]．(2)设该汽车行驶100km的油耗为yL，则y＝100x·15x－k＋4500x＝20－20kx＋90000x2(60≤x≤120)．令t＝1x，则t∈1120，160，所以y＝90000t2－20kt＋20＝90000t－k90002＋20－k2900，对称轴t＝k9000，因为60≤k≤100，所以k9000∈1150，190.①若1120≤k9000≤190，即75≤k≤100，则当t＝k9000，即x＝9000k时，ymin＝20－k2900；②若1150≤k9000＜1120，即60≤k＜75，则当t＝1120，即x＝120时，ymin＝1054－k6.综上，当75≤k≤100时，该汽车行驶100km的油耗的最小值为20－k2900；当60≤k＜75时，该汽车行驶100km的油耗的最小值为1054－k6.02突破点(二)两类特殊函数的模型基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．“y＝x＋ax”型函数模型(1)“y＝x＋ax”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型函数模型．(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋ax(a＞0，x＞0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．2．分段函数模型(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).考点贯通抓高考命题的“形”与“神”函数y＝x＋ax(a＞0)模型[例1]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解](1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥26x＋108003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5，即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.分段函数模型[例2]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设旅行团人数为x人，由题得0＜x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y＝900，0＜x≤30，900－10x－30，30＜x≤75，即y＝900，0＜x≤30，1200－10x，30＜x≤75.(2)设旅行社获利S元，则S＝900x－15000，0＜x≤30，x1200－10x－15000，30＜x≤75，即S＝900x－15000，0＜x≤30，－10x－602＋21000，30＜x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为单调增函数，故当x＝30时，S取最大值12000元，又x∈(30,75]时，S＝－10(x－60)2＋21000，此时当x＝60时，取得最大值21000.故每团人数为60时，旅行