第六章-勒让德多项式2-第七章Hermit多项式

定理在区间[-1,1]上的任一连续函数()fx多项式的级数0()P()nnnfxCx（6.2.5）其中1121()P()d2nnnCfxxx(6.2.6),可展开为勒让德习题讲解：勒让德多项式的应用[]220(22)!P()(1)2!()!(2)!lklkllklkxxklklk式中,22[](0,1,2,)12,212llnlnlln数学物理方程与特殊函数第6章勒让德多项式例1:将在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式2x02)(nnnxPCx112d)(212xxPxnCnn0nC2n112221)d-(321214xxxC1121d212xxxC1120d21xxC)(32)(31202xPxPx1124d345xxx32325645113d43xx0313221)()()(2211002xPCxPCxPCx1)-(3212210xCxCC22320122CCxCxC0d)(11xxPxnk例2将函数3()fxx按勒让德多项式形式展开.【解】根据（6.2.5）设300112233P()P()P()P()xCxCxCxCx考虑到P()(1)P()nnnxx，由(6.2.6)显然有020CC11331111333P()dd225Cxxxxxx1133333117712P()d(5-3)d2225Cxxxxxxx所以31332P()P()55xxx例3将函数cos2(0π)展开为勒让德多项式P(cos)n形式【解】用直接展开法令cosx，则由22cos22cos121x我们知道：20121P()1,P(),P()(31)2xxxxx可设200112221P()P()P()xCxCxCx考虑到勒让德函数的奇偶性，显然10C2202121(31)2xCCx由20,xx项的系数，显然得出2041,33CC故有02021414cos(2)P()P()P(cos)P(cos)3333xx下面我们给出一般性结论：结论1：设k为正整数，可以证明：222222200212121232311P()P()P()P()P()P()kkkkkkkkkkxCxCxCxxCxCxCx结论2：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数()fx为奇函数，则展开式（6.2.5）系数20nC若需展开的函数()fx为偶函数，则展开式（6.2.5）系数210nC0,1,2,3,n数学物理方程与特殊函数第6章勒让德多项式0,cos),1(0,10,0sinsin112222ururrurrr)()(),(rRru0sincossin122RRrRrctg22RRrRr)1(nn0)1(ctgnn0)1(22RnnRrRr)(cosnnP1nnnnnrDrCRnnrC)(cosnnnnPrCu0)(cosnnnnPrCu20cos)(cos),1(nnnPCu)(cos32)(cos31cos202PP)31(cos3122ru例4求定解问题解：第七章埃尔米特多项式7.1勒让德方程及其解的表示n阶埃尔米特方程220yxyny(7.1)7.2埃尔米特多项式的表示埃尔米特多项式的级数表示在自然边界条件下，勒让德方程的解()nHx为[]220!H()(1)2!(2)!lnmmnmnxxmnk（7.2）式中,22[](0,1,2,)12,212llnlnlln式（7.2）即为埃尔米特多项式的级数表示．根据（7.2）式可方便地得出前几个埃尔米特多项式:0H()1x1()2Hxx22()42Hxx33H()812xxx424H()164812xxx535H()32160120xxxx7.3埃尔米特多项式的正交性及模22,H()H()dxmnmmnexxxN其中,1()0()mnmnmn当mn时满足2H()H()d0xmnexxx(7.3)称为正交性．相等时可求出其模22H()H()d2!(0,1,2,)xmmmmNexxxmm(7.4)