2000年全国高考数学试题理科数学(江西、天津)卷

2000年全国高考数学试题(新课程/理工农医类)江西、天津卷一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A和B都是坐标平面上的点集RyRxyx,|,，映射BAf:把集合A中的元素yx,映射成集合B中的元素yxyx,，则在映射f下，象1,2的原象是（）（A）1,3（B）21,23（C）21,23（D）3,1（2）在复平面内，把复数i33对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是（）（A）23（B）i32（C）i33（D）3i3（3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是（）（A）23（B）32（C）6（D）6（4）设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（）①0baccba；②baba③bacacb不与c垂直④22492323bababa中，是真命题的有（A）①②（B）②③（C）③④（D）②④（5）函数xxycos的部分图象是（）（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）（A）800~900元（B）900~1200元（C）1200~1500元（D）1500~2800元（7）若1ba，P=balglg，Q=balglg21，R=2lgba，则（A）RPQ（B）PQR（C）QPR（D）PRQ（8）右图中阴影部分的面积是（A）32（B）329（C）332（D）335（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）（A）221（B）441（C）21（D）241（10）过原点的直线与圆03422xyx相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）（A）xy3（B）xy3（C）x33（D）x33（11）过抛物线02aaxy的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则qp11等于（）（A）a2（B）a21（C）a4（D）a4（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）321arccos（B）21arccos（C）21arccos（D）421arccos二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品的概率分布是（14）椭圆14922yx的焦点为1F、2F，点P为其上的动点，当21PFF为钝角时，点P横坐标的取值范围是________.（15）设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnananaan（n=1，2，3，…），则它的通项公式是na=________。（16）如图，E、F分别为正方体的面11AADD、面11BBCC的中心，则四边形EBFD1在该正方体的面上的射影可能是_______。（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？（18甲）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-111CBA，底面ΔABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱1AA=2，M、N分别是11BA、AA1的中点。（I）求BN的长；（II）求1cosBA，1CB的值；（III）求证MCBA11。（18乙）（本小题满分12分）如图，已知平行六面体ABCD-1111DCBA的底面ABCD是菱形，且CBC1=BCD=60。（I）证明：CC1⊥BD；（II）假定CD=2，CC1=23，记面BDC1为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（III）当1CCCD的值为多少时，能使CA1平面BDC1？请给出证明。（19）（本小题满分12分）设函数axxxf12，其中0a。（I）解不等式1xf；（II）求a的取值范围，使函数xf在区间,0上是单调函数。（20）（本小题满分12分）用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。（21）（本小题满分12分）（I）已知数列nc，其中nnnc32，且数列nnpcc1为等比数列，求常数p。（II）设na、nb是公比不相等的两个等比数列，nnnbac，证明数列nc不是等比数列。（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD中CDAB2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当4332时，求双曲线离心率e的取值范围。参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。（1）B（2）B（3）C（4）D（5）D（6）C（7）B（8）C（9）A（10）C（11）C（12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。（13）012P0.90250.0950.0025（14）5353x（15）n1（16）②③三、解答题（5）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。满分10分。解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C14C个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为110C19C个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为154191101416CCCC，所求概率为154；——5分（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314CCCC，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为15131191101314CCCC，所求概率为1513。或191101516CCCC191101416CCCC191101614CCCC151315415431，所求概率为1513。——10分（18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识。满分12分。如图，以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz。（I）解：依题意得B0,1,0，N1,0,1，∴3011001222BN——2分（II）解：依题意得1A2,0,1，B0,1,0，C0,0,0，1B2,1,0。∴2,1,11BA，2,1,01CB。1BA31CB。61BA，51CB——5分∴cos1BA3010111111CBBACBBACB——9分（III）证明：依题意得1C2,0,0，M2,21,21BA12,1,1，MC10,21,21，∴BA1MC1002121，∴1BAMC1——12分（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。满分12分。（I）证明：连结11CA、AC，AC和BD交于O，连结OC1。∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD。又∵CCCCDCCBCC1111,，∴DCCBCC11，∴DCBC11，∵DO=OB，∴OC1BD，——2分但AC⊥BD，AC∩OC1=O，∴BD⊥平面1AC。又CC1平面1AC，∴CC1BD。——4分（II）解：由（I）知AC⊥BD，OC1BD，∴OCC1是平面角BD的平面角。在BCC1中，BC=2，231CC，601BCC，∴41360cos23222322221BC。——6分∵∠OCB=30，∴OB=21BC=1。∴49141322121OBBCOC，∴231OC即CCOC11。作HC1⊥OC，垂足为H。∴点H是OC的中点，且OH23，所以33cos11OCOHOCC。——8分（III）当11CCCD时，能使CA1⊥平面BDC1。证明一：∵11CCCD，∴BC=CD=CC1，又CDCCBCBCD11，由此可推得BD=DCBC11。∴三棱锥C-BDC1是正三棱锥。——10分设CA1与OC1相交于G。∵11CA∥AC，且11CA∶OC=2∶1，∴GA1∶GO=2∶1。又OC1是正三角形BDC1的BD边上的高和中线，∴点G是正三角形BDC1的中心，∴CG⊥平面BDC1。即CA1⊥平面BDC1。——12分证明二：由（I）知，BD⊥平面1AC，∵CA1平面1AC，∴BD⊥CA1。——10分当11CCCD时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥CA1的证法可得1BC⊥CA1。又BD∩1BC=B，∴CA1⊥平面BDC1。——12分（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。解：（I）不等式1xf即axx112，由此可得ax11，即0ax，其中常数0a。所以，原不等式等价于0,1122xaxx即02102axax——3分所以，当10a时，所给不等式的解集为2120|aaxx；当1a时，所给不等式的解集为0|xx。——6分（II）在区间,0上任取1x，2x，使得1x2x。2122212111xxaxxxfxf212221222111xxaxxxxaxxxxxx1122212121。——8分（i）当1a时，∵111222121xxxx，∴011222121axxxx，又021xx，∴021xfxf，即21xfxf。所以，当1a时，函数xf在区间,0上是单调递减函数。——10分（ii）当10a时，在区间,0上存在两点01x，2212aax，满足11xf，12xf，即1xf2xf，所以函数xf在区间,0上不是单调函数。综上，当且仅当1a时，函数xf在区间,0上是单调函数。——12分（20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识。满分12分。解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为5.0xm，高为xxx22.345.0448.14由022.3x和0x，得6.10x，设容器的容积为3ym，则有xxxy22.35.06.10x整理，得xxxy6.12.2223，——4分∴6.14.462xxy——6分令0y，有06.14.462xx，即0411152xx，解得11x，1542x（不合题意，舍去）。——8分从而，在定义域（0，1，6）内只有在1x处使0y。由题意，若x过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y值很小（接近0），因此，当1x时y取得最大值8.16.12.22最大值y，这时，高为2.1122.3