利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数

威布尔分布是瑞典物理学家WeibullW.分析材料强度时在实际经验的基础上推导出来的分布形式[1]，国内外大量研究表明，用三参数威布尔分布比用对数正态分布往往能更准确地描述结构疲劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理；在以损耗为特征的机械零件寿命评估中，采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精度更高。因此，三参数威布尔分布在强度与环境研究领域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的应用。在农业机械的强度设计中也经常要用到威布尔分布。威布尔分布参数估计方法有很多，国内外一直有人在进行相关研究[3-8]，现有几十种参数估计方法，但多数只能用于形状参数和尺度参数的估计。在众多的估计方法中，能用于三参数估计的并不多，见诸文献的有极大似然估计法、最大相关系数优化法、概率权重矩法、灰色估计法、图估计法等，除图估计法外，其他方法大都计算复杂，应用不便，即便是计算机水平发达的今天，也只能通过Matlab或其他计算机语言编程计算。EXCEL提供了超强的数学运算、统计分析等实用程序，利用它的规划求解功能可以快速、高效地求解三参数威布尔分布的参数估计问题。2.三参数威布尔分布模型威布尔分布的寿命分布函数由下式给出式中：m称为形状参数，m0；η称为尺度参数，η0；γ称为位置参数，也称最小寿命，表示产品在γ以前不会失效，对于产品寿命有γ≥0,γ=0时退化为二参数威布尔分布；t是产品的工作时间，t≥γ。当m1时，由式(3)给出的失效率是递减型的，适合于建模早期失效；当m=1时，失效率为常数，即退化为指数分布，适合于建模随机失效；当m1时，失效率是递增的，适合于建模磨耗或老化失效。设有n个产品进行寿命试验数据，按失效时间先后得到的寿命数据失效时间(顺序统计量)为nt≤t≤Λ≤t12，对应的累计失效概率(经验分布函数)为()()()12nFt≤Ft≤Λ≤Ft。其中到第i个产品失效时的累计失效概率F(ti)可用中位秩算法求得：Ftii（2）根据失效时间和累计失效概率即可用各种方法对其参数进行估计。3.最大相关系数优化法对（1）式做变形处理，并取两次自然对数得到：4.用EXCEL进行参数估计（6）式所表示的方程十分复杂，解该方程一般是通过编程，用数值解法求出γ，然后求再用最小二乘法或其他方法求解形状参数和尺度参数。MSEXCEL具有强大的统计和计算功能，其“规划求解”功能更是求解最优化问题的强有力工具，（6）式所表示的方程利用EXCEL的“规划求解”功能可很容易解出，然后再利用其散点图的趋势线功能即可求出形状参数和尺度参数。本文通过实例，就相关系数优化法，用EXCEL进行求解。例：选取5台某产品进行可靠性试验，失效时间分别是27,32,36,42,49，已知产品寿命服从威布尔分布，试估计分布参数。1)准备数据表按图1准备数据表⑴在A2～A6单元格中输入产品失效的顺序号1～5；⑵在B2～B6单元格中输入产品的失效时间27、32、36、42、49；⑶在I8单元格中输入位置参数γ的迭代初值，初值可选择接近于第一个失效时间，也可用图估计法的估计值作为初值；⑷在C2单元格中输入公式“=LN(B2-$I$8)”，用填充柄填充C3～C6单元格，C2～C6单元格的值为ix，即ln(−γ)it；⑸在D2单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填充D3～D6单元格，D2～D6单元格的值为为2ix；⑹在E2单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充E3～E6单元格，E2～E6单元格的值为为()iFt，这里()iFt采用中位值算法，即F(t)=(i−0.3)(n+0.4)i；⑺在F2单元格中输入公式“=LN(LN(1/(1-E2)))”，用填充柄填充F3～F6单元格，F2～F6单元格的值为为iy，即1()lnln1i−Ft；⑻在G2单元格中输入公式“=C2*F2”，用填充柄填充G3～G6单元格，G2～G6单元格的值为iix⋅y；⑼在C7单元格中输入公式“=AVERAGE(C2:C6)”，C7单元格的值为x；⑽在C8单元格中输入公式“=SUM(D2:D6)”，C8单元格的值为Σ=niix`2；⑾在C9单元格中输入公式“=AVERAGE(F2:F6)”，C9单元格的值为y；⑿在C10单元格中输入公式“=SUM(G2:G6)”，C10单元格的值为Σ=⋅niiixy`；⒀在H2单元格中输入公式“=($C$7-C2)/(B2-$I$8)”，用填充柄填充H3～H6单元格，H2～H6单元格的值为−γ⒁在I2单元格中输入公式“=($C$9-F2)/(B2-$I$8)”，用填充柄填充I3～I6单元格，I2～I6单元格的值为；⒂在F8单元格中输入公式“=SUM(H2:H6)”，F8单元格的值为Σ=；⒃在F10单元格中输入公式“=SUM(I2:I6)”，F10单元格的值为Σ=⒄在I10单元格中输入公式“=(C8-5*C7^2)*F10-(C10-5*C7*C9)*F8”，I10单元格的值就是（6）式的左边。其他文字仅用于说明，与求解关系不大，可以不填。2）使用“规划求解”功能估计位置参数γ⑴选择“工具→规划求解”功能打开规划求解参数对话框，目标单元格设为$I$10，目标值设为0，可变单元格设为$I$8:$B$2。⑵对于产品寿命有10≤γt，故单击约束条件“添加”按钮，添加约束条件：$I$8=$B$2和$I$8=0；⑶单击“求解”按钮，即可获得最大相关系数下的位置参数γ=20.2395，如图2所示，此时可获得最大相关系数R(x,y)=0.99950878；3）使用图表功能求形状参数m和尺度参数η⑴插图散点图，横坐标为xi，纵坐标为yi；⑵在散点图上添加趋势线，回归模型选择“线性”，并选择“显示公式”和“显示R2值”；⑶EXCEL自动绘制回归直线，并把结果显示在图上，结果如图3所示。其中斜率1.8486即为形状参数m，而5.5088即为lnηm，故19.695.结语（1）三参数威布尔分布的参数估计较二参数威布尔分布的参数估计更为复杂，用MSEXCEL解决三参数威布尔分布的参数估计问题，实用方便。（2）用“规划求解”进行位置参数的估计时，要注意选择好迭代精度和初值，若精度和初值选择不合适，可能得不到最满意的解，建议初值尽可能离第一个失效时间近一些，精度不低于10-7。（3）失效概率有中位秩算法、平均秩算法，采用的算法不一样，估计结果也会稍有不同。怀化亲子鉴定怀化亲子鉴定中心精心发布，谢谢阅读收藏，谢谢！