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感谢您选择明昊教育,明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进!楊老师联系电话(微信)无有理数的乘除(提高)责编:康红梅【学习目标】1.会根据有理数的乘法法则进行乘法运算,并运用相关运算律进行简算;2.理解乘法与除法的逆运算关系,会进行有理数除法运算;3.巩固倒数的概念,能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算;4.培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则:(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(2)任何数同0相乘,都得0.要点诠释:(1)不为0的两数相乘,先确定符号,再把绝对值相乘.(2)当因数中有负号时,必须用括号括起来,如-2与-3的乘积,应列为(-2)×(-3),不应该写成-2×-3.2.有理数的乘法法则的推广:(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数的个数有偶数个时,积为正;(2)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.要点诠释:(1)在有理数的乘法中,每一个乘数都叫做一个因数.(2)几个不等于0的有理数相乘,先根据负因数的个数确定积的符号,然后把各因数的绝对值相乘.(3)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之,如果积为0,那么至少有一个因数为0.3.有理数的乘法运算律:(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即:ab=ba.(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.即:abc=(ab)c=a(bc).(3)乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.即:a(b+c)=ab+ac.要点诠释:(1)在交换因数的位置时,要连同符号一起交换.(2)乘法运算律可推广为:三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中的几个因数相乘.如abcd=d(ac)b.一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.如a(b+c+d)=ab+ac+ad.(3)运用运算律的目的是“简化运算”,有时,根据需要可以把运算律“顺用”,也可以把运算律“逆用”.要点二、有理数的除法1.倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数.要点诠释:(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12,-2和12是互相依存的;(2)0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数;(3)倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数;(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).2.有理数除法法则:感谢您选择明昊教育,明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进!楊老师联系电话(微信)无法则一:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即1(0)ababb.法则二:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.要点诠释:(1)一般在不能整除的情况下应用法则一,在能整除时应用法则二方便些.(2)因为0没有倒数,所以0不能当除数.(3)法则二与有理数乘法法则相似,两数相除时先确定商的符号,再确定商的绝对值.要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算,应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出结果.要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算,如无括号,则按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,则先算括号里面的.【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1.计算:(1)54(3)1(0.25)65;(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20);(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0.【答案与解析】几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘.因数是小数的要化为分数,是带分数的通常化为假分数,以便能约分.几个数相乘,有一个因数为零,积就为零.(1)54(3)1(0.25)65591936548;(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1个(1)相乘;(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0=0.【总结升华】几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,与正因数的个数无关.当因数中有一个数为0时,积为0.但注意第一个负因数可以不用括号,但是后面的负因子必须加括号.2.运用简便方法计算:(2014秋•埇桥区校级期中)25×﹣(﹣25)×+25×.【答案与解析】解:25×﹣(﹣25)×+25×,=25×+25×+25×,=25×(++),=25×,感谢您选择明昊教育,明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进!楊老师联系电话(微信)无=.【总结升华】本题考查了有理数的乘法,熟练掌握乘法分配律并灵活运用是解题的关键.举一反三:【变式】用简便方法计算:(1)2215130.34(13)0.343737;(2)3.1435.26.28(23.3)1.5736.4.【答案】(1)原式2125(13)(13)0.340.3433772125(13)0.343377(13)10.34(1)130.3413.34.(2)3.1435.26.28(23.3)1.5736.4=(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2=-3.14×(35.2+46.6+18.2)=-3.14×100=-314.类型二、有理数的除法运算3.计算:17(49)2(3)33【思路点拨】对于乘除混合运算,首先由负数的个数确定结果的符号,同时应将小数化成分数,带分数化成假分数,算式化成连乘积的形式,再进行约分.但要注意除法没有分配律.【答案与解析】解:17(49)2(3)33331(49)773331493773【总结升华】进行乘除混合运算时,往往先将除法转化为乘法,再确定积的符号,最后求出结果.举一反三:【高清课堂:有理数乘除381226有理数除法例1(3)】【变式】计算:111(3)(2)(1)335【答案】原式103525()()()37621感谢您选择明昊教育,明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进!楊老师联系电话(微信)无类型三、有理数的乘除混合运算4.计算:9481(16)49【答案与解析】在有理数的乘除运算中,应按从左到右的运算顺序进行运算.9444181(16)811499916【总结升华】在有理数的乘除运算中,可先将除法运算转化为乘法运算.乘除运算是同一级运算,再应按从左到右的顺序进行.举一反三:【变式】计算:14410(2)893【答案】14410(2)893194181941243108432843216类型四、有理数的加减乘除混合运算5.计算:121123031065【答案与解析】方法1:12112303106512035121303010方法2:2112131065302112(30)1031065所以121121303106510【总结升华】除法没有分配律,在进行有理数的除法运算时,若除数是和的形式,一般先算括号内的,然后再进行除法运算,也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决,如果按a÷(b+c)=a÷b+a÷c进行分配就错了.举一反三:【变式】(2014•沐川县二模)观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)1!=1,2!=2×1,3!=3×2×1,4!=4×3×2×1,…,那么计算:=.【答案】解:==.感谢您选择明昊教育,明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进!楊老师联系电话(微信)无类型五、含绝对值的化简6.已知a、b、c为不等于零的有理数,你能求出||||||abcabc的值吗?【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值,再代入求值.【答案与解析】解:分四种情况:(1)当a、b、c三个数都为正数时,||||||1113abcabcabcabc;(2)当a、b、c三个数中有两个为正数,一个为负数时,不妨设a为负数,b、c为正数,||||||1111abcabcabcabc;(3)当a、b、c三个数中有一个为正数,两个为负数时,不妨设a为正数,b、c为负数,||||||1111abcabcabcabc;(4)当a、b、c三个数都为负数时,||||||(1)(1)(1)3abcabcabcabc综上,||||||abcabc的值为:3,3,1,1【总结升华】在含有绝对值的式子中,当不知道绝对值里面的数的正负时,需分类讨论.举一反三:【高清课堂:有理数乘除381226有理数除法例2】【变式】计算abab的取值.【答案】(1)当a>0、b>0时,112abab原式;(2)当a<0、b<0时,112abab原式;(3)当a>0,b<0时,110abab原式;(4)当a<0,b>0时,110abab原式.综上,abab的值为:2,2,0
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