等差数列性质

§6.2等差数列一．课程目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.二．知识梳理1.定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数).2.通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.3.前n项和公式等差数列的前n项和公式：22111)()(nnaandnnnaS其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项).3.等差数列的常用性质已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.(1)通项公式的推广：*),()(Nmndmnaamn(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有qpnmaaaa。特别的，当pnm2时，pnmaaa2(3)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.(4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(5)若}{},{nnba是等差数列，则}{nnqbpa仍是等差数列.4.与等差数列各项和相关的性质（1）若}{na是等差数列，则}{nSn也是等差数列，其首项与}{na的首项相同，公差为}{na的公差的21。（2）数列mmmmmSSSSS232,,…也是等差数列.（3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。a.若项数为n2，则1nnaaSSndSS偶奇奇偶,。b.若项数为12n，则nannS)(1偶，nnaS奇，1nnSSaSSn偶奇奇偶,。（4）若两个等差数列}{},{nnba的前n项和分别为nnTS,，则1212nnnnTSba5.等差数列的前n项和公式与函数的关系：（1）ndandS)(2212，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).（2）在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.三．考点梳理1.等差数列的概念及运算例1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A.100B.99C.98D.97例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.练习1.(2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10等于()A.172B.192C.10D.122.等差数列的性质例1.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A.5B.7C.9D.11例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A.63B.45C.36D.27例3.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.10例4.(2015·广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.例5.(2016·武汉调研)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于()A.－1B.－2C.－3D.－4例6.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有SnTn＝2n－34n－3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为________.3.等差数列与函数例1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是()A.5B.6C.7D.8例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a10且a6a5＝911，则当Sn取最大值时，n的值为()A.9B.10C.11D.12例3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A.a1＋a101＞0B.a2＋a100＜0C.a3＋a99＝0D.a51＝51例4.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则a6·a7的最大值为()A.36B.6C.4D.2例5.设{nS}是公差为d（0d）的无穷等差数列}{na的前n项和，则下列命题错误的是（）A.若d0，则数列{nS}有最大项B.若数列{nS}有最大项，则d0C.若数列{nS}为递增数列，则对任意*Nn，均有nS0D.若对任意*Nn，均有nS0，则数列{nS}为递增数列例6.设等差数列{an}满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn0成立的最大的自然数n是()A．9B．10C．11D．12方法总结：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.