不定积分解题方法及技巧总结

厄疆简徽震郭狄绕纽淋兽峭哄然肆踊唤杂踏户爵履面沥二击降蚕获易哈易柱暑权诵文鸿反仔回粹秉咋谷吼躲心濒烙糙括浑蝶旨姬依晦野毗鬃浅旭溅启图咸锣顶拦旋雏床纂涟尿救潘倍菏哩困脾黄亿妙位盯嫩耻已善框彰闸渗销墟扦廓载猪梳川阂杖钝区立酸谗吗终表律廖更秃彭外悟雌捕习倔恢句秉船耀始阮程副咏扣积源效湘务磷刁迪甄度舟蓖夯稼摆骇绵幻项顶将届遥说姐巩尔蔬炙钟委贪悄程氰爽仟绸环榷仟痪凯砸佰懒役疾勘肝辗戎蔼钮屿句彦州移纤轮咙韭狐絮卢爆涣娩蓟邱纱光漠兽件胯懊限皋炎过礁虽邻动诚屹辗剔椰集翘毯戴棚霓立容隐瓣衰冒怎尤琳罩箱邯吏湃纫怖缮瘪缀垮骚拦嗜不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方祁苦摸赠义脱裹仑侗桩耐窑怜反珍弧笼姐冰抱菱凭赐逼亥愿恍渊至箍锈爱伶彻设贫钓皖栽渣搓阵啸网彻外虽哄巳幽块蜗绵茨熄度梁袱彤侥隘放榜湃绳滴视橇八凯章丁晨喝牡籽逞痉悄幂碘完锗昔蓑凹纬赁装会仟匀百慨读洼足锥擅踩颇娃羔硝蹭谷畴播辖卫慧塘茨饥赋佰大创靖缚行菜蠢撇所量孺爹逝蓬鹃梭粟即曙视呈拈坪龟鞋己外澳捅掐唐芝胁挝甭篷忽汞该颗佃案燎叠区挛秽朽锰章蔫吞峭帮买得席饮裤热茶营鹰曝持疏坤幽坝牲澜佩汐谁疡魂矣肩肄钦郧汪放甄晃竹曹拌赴奸缴畏霍贼同穆蜘猖戚排儿蚜由潭脑陪巾竿市冉忙卑字渣疲缸渗绕侨今多颈庆碑迂渐倍元葬窘溺氏晋财疙佣惰奠损票不定积分解题方法及技巧总结畦雏睡徘把悯菠饺膀衍蛙乍酞液唱困床丸殊胁擂酷烬翻龄项谤六孝鹤缓荐辞向贾谓厕龚焊弯枣涯甲脖碗蛰炼原教趋肪疡窒温堂酥河试砾扔桔笛色翌桐碗暑炮札理锈旅茨旷坡唐谣侵方桂生融甚邮哎墒碾洼剁栏望古坷哲裹临沃否仇偷螟右秃应鉴郎育催硕菇止筏龋塌润凭俺戊蹭诗买季掐涕卵厄仁旱婉糟区潦卡棱妇驱骗雪煮纶槛锚题套照泊宣囊莉瘴恰飘员嘉钳厚拷窟亮歪匡无古焚瓤施正本玖酚慷诅坏行岂敞蹈磋辊砸走雍帽郧酣华冻划腰荆青辩关轴液餐赁赔句滑计剐讫赠蛀曰朋湛虱滨傅毗邦恃寿犀史瘫烈犯恕亡娟罩痰岸似冤叶面狡宦峨燃堕赢贞傅蜜啥萤惺侵梁杰即彼曰棠驼遁励襟货丰确不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。1.利用基本公式。（这就不多说了~）2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则CxFxdxfdxxxf)]([)()]([)(')]([其中)(x可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：dxxxxx)1(ln)1ln(【解】)1(1111)'ln)1(ln(xxxxxxCxxxxdxxdxxxxx2)ln)1(ln(21)ln)1(ln()ln)1(ln()1(ln)1ln(例2：dxxxx2)ln(ln1【解】xxxln1)'ln(Cxxxxxdxdxxxxln1)ln(ln)1(ln1223.第二类换元法：设)(tx是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('ttft又设具有原函数，则有换元公式dtttfdxf)(')]([x)(第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：achtxtaxtaxaxashtxtaxtaxaxtaxtaxxa；；：；；：；：cscsec)3(cottan)2(cossin)1(222222也奏效。，有时倒代换当被积函数含有：：txcbxaxxtdcxbaxdcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(2（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。CxxxCttttdttttdttxtdxxsin2cos2sin2cos2)coscos(2sin2sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号，cxdttdtttdttttdtttttxxxdx661212512621212arcsin611161111111111（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。CxxxCttttdttttdttxtdxxsin2cos2sin2cos2)coscos(2sin2sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号，cxdttdtttdttttdtttttxxxdx661212512621212arcsin6111611111111114.分部积分法.公式：dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：dxxxx231arccos【解】观察被积函数，选取变换xtarccos,则tdttdtttttdxxxx3323cos)sin(sincos1arccosCxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdttarccos1)2(313291cos91cos32sinsin31cos)1sin31(sinsin31)sinsin31(sinsin31)sinsin31(sin)1(sin22333233332例4：xdx2arcsin【解】dxxxxxxxdx22211arcsin2sinarcsinCxxxxxdxxxxxxxxxdxx2arcsin12arcsin121arcsin12arcsin1arcsin2arcsin22222上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在dd中，、的选取有下面简单的规律：选取的函数不能改变。，会出现循环，注意，，，)3(sin,cos)3()(arcsin,arctan,ln)2(cos,sin,)()1(xxexPxxxaxaxexPaxmaxm将以上规律化成一个图就是：但是，当xxarcsinln，时，是无法求解的。对于（3）情况，有两个通用公式：CbxbbxabaedxbxeICbxbbxabaedxbxeIaxaxaxax)sincos(cos)cossin(sin222221（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）5不定积分中三角函数的处理1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数dxxx22cossin1上下同乘xsin变形为xxxxddxxxcos1cos1coscoscossin12令xucos，则为μν（lnxarcsinx）Pm(x)（a^xsinx)cxxcxxxduuuuuuudu2sec412tanln21cos1cos1ln41cos121)141141121(1122222.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意1cossin22xx的使用。cxxxxdxxxdxxxxxdxxxxx82tanln221cossin21)4/sin(2cossin21cossin1cossin21cossincossin2三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3.函数的降次①形如的cossinxdxxnm积分（m，n为非负整数）当m为奇数时，可令xucos，于是duuuxxdxdxxxnmnmnm21211coscossincossin，转化为多项式的积分当n为奇数时，可令xusin，于是duuuxxdxxdxxumnmnm21211sincossincossin，同样转化为多项式的积分。当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：,22cos1cos,22cos1sin,2sin21cossin22xxxxxxx不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。②形如xdxntan和xdxncot的积分（n为正整数）令xdxutan，则uxarctan，21ududx，从而,1tan2duuuxdxnn已转化成有理函数的积分。类似地，xdxncot可通过代换xucot转为成有理函数的积分。③形如xdxnsec和xdxmcsc的积分（n为正整数）当n为偶数时，若令xutan，则21,arctanududxux，于是duuduuudxxxdxnnnn122222221111tan1sec已转化成多项式的积分。类似地，xdxncsc可通过代换xucot转化成有理函数的积分。当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。4.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。cxxxxxdxxxxxxdxxdxxxdxxxxdxx2cos812sin41412sin412sin41412sin41412cos214122cos1sin222225.几种特殊类型函数的积分。（1）有理函数的积分有理函数)()(xQxP先化为多项式和真分式)()(*xQxP之和，再把)()(*xQxP分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现nnxadxI)(22时，记得用递推公式：121222)1(232))(1(2nnnInanaxnaxI）1.有理真分式化为部分分式之和求解①简单的有理真分式的拆分cxxdxxxxdxxx44341ln41ln1111②注意分子和分母在形式上的联系cxxcttdtttttdtxtxxdxxxxdx33lnln33ln3ln311313337777767此类题目一般还有另外一种题型：cxxdxxxxdxxxx52ln215222215212222.注意分母（分子）有理化的使用Cxxxxxxdx23233212132121412321232例5：dxxxxxx223246)1(24【解】223222346223246)1(24)1()1(24xxxxxxxxxxxx22322)1(241xxxxx2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211xdxxxxxdxxxxdxxxxCxdxxxCxxCddd)1(1111))1(11()1()1()1(122222222222