二元一次方程组解的讨论

初中数学竞赛辅导资料（11）二元一次方程组解的讨论甲内容提要1．二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种：①当212121ccbbaa时，方程组有无数多解．（∵两个方程等效）②当212121ccbbaa时，方程组无解．（∵两个方程是矛盾的）③当2121bbaa（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：1221211212211221babaacacybababcbcx（这个解可用加减消元法求得）2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．（见例2、3）乙例题例1.选择一组a，c值使方程组cyaxyx275①有无数多解，②无解，③有唯一的解解：①当5∶a＝1∶2＝7∶c时，方程组有无数多解解比例得a＝10，c＝14．②当5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解．解得a＝10，c≠14．③当5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解．例2.a取什么值时，方程组3135yxayx的解是正数？解：把a作为已知数，解这个方程组得23152331ayax∵00yx∴0231502331aa解不等式组得531331aa解集是6311051a答：当a的取值为6311051a时，原方程组的解是正数．例3.m取何整数值时，方程组1442yxmyx的解x和y都是整数？解：把m作为已知数，解方程组得82881mymx∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8．∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2．取它们的公共部分，m－8＝±1，±2．解得m＝9，7，10，6．经检验m＝9，7，10，6时，方程组的解都是整数．例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板．问桃，李，榄橄各买几粒？解：设桃，李，榄橄分别买x，y，z粒，依题意得)2(1007143)1(100zyxzyx由（1）得x＝100－y－z（3）把（3）代入（2），整理得y＝－200＋3z－7z设kz7(k为整数)得z＝7k，y＝－200＋20k，x＝300－27k∵x，y，z都是正整数∴07020200027300kkk解得0.10.9100kkk（k是整数）∴10＜k＜9111，∵k是整数，∴k＝11即x＝3（桃），y＝20（李），z＝77（榄橄）(答略)丙练习111．不解方程组，判定下列方程组解的情况：①96332yxyx②32432yxyx③153153yxyx2．a取什么值时方程组229691322aayxaayx的解是正数？3．a取哪些正整数值，方程组ayxayx24352的解x和y都是正整数？4．要使方程组12yxkkyx的解都是整数，k应取哪些整数值？5．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？练习111.①无数多个解②无解③唯一的解2.a＞13.a＝14.–5，－3，－1，15.78154鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝81118鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝84412鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝