03DSP研究性学习报告数字滤波器设计121

《数字信号处理》课程研究性学习报告数字滤波器设计专题研讨【目的】(1)掌握IIR和FIR数字滤波器的设计方法及各自的特点。(2)掌握各种窗函数的时频特性及对滤波器设计的影响。(3)培养学生自主学习能力，以及发现问题、分析问题和解决问题的能力。【研讨题目】基本题1．IIR数字滤波器设计设计一个IIR数字低通滤波器，其能取代下列指标的模拟低通滤波器(系统的抽样频率为44.1kHz)fp=2kHz，fs=10kHz,Ap=0.5dB,As=50dB(1)分别用双线性变换和冲激响应不变法设计一个BW型数字低通滤波器，并进行比较。(2)用双线性变换分别设计ChebyshevI型ChebyshevII型和椭圆型数字低通滤波器，并进行比较。【温磬提示】在数字滤波器的设计中，不管是用双线性变换法还是冲激响应不变法，其中的参数T的取值对设计结果没有影响。但若所设计的数字滤波器要取代指定的模拟滤波器时，则抽样频率（或抽样间隔T）将对设计结果有影响。【设计步骤】[1]脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的基本思想是通过对模拟滤波器冲击响应h(t)的等间隔抽样来获得数字滤波器的脉冲响应[]()|tKThkht①将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}②由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。③利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。[2]双线性变换法设计IIR数字滤波器的基本思想是利用数值积分将模拟系统变换为数字系统①将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}②由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。③利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。[3]CBILP的设计步骤1)由通带截频wp确定wc2)由通带衰减Ap确定e3)由通带、阻带指标确定N[4].CBIILP的设计步骤1)由通带截频wp确定wc2)由通带衰减As确定e3)由通带、阻带指标确定N[5]椭圆低通滤波器的设计步骤)2tan(2kkT11112)()(zzTssHzH(1)由通带截频确定wc(2)由通带的衰减确定e(3)由阻带截频确定k【仿真结果】所设计滤波器的幅度响应和相位响应(1)双线性变换法Ap=0.0442As=50.0000冲激响应不变法N=5Ap=0.0443As=50.0032ChebyshevI型Ap=0.5000As=64.4909ChebyshevII型Ap=0.5000As=50.2070椭圆型滤波器Ap=0.5000As=56.7385【结果分析】一，.双线性变换和冲激响应不变法所设计的滤波器的性能有什么不同。脉冲响应不变法的主要优点是模拟频率与数字频率之间的关系是线性的，其主要缺点是存在频谱混叠，使得阻带衰减不满足条件。双线性变换法主要优点是避免了频谱混叠，依靠频率的非线性关系得到s平面与z平面的单值对应关系，整个轴单值对应于单位圆一周，消除了脉冲响应不变法固有的频谱混叠效应，其缺点是模拟频率与数字频率之间的关系是非线性的。二，BW型、ChebyshevI型、ChebyshevII型和椭圆型滤波器的特点;1.在相同的设计指标下，一般来说，BW型滤波器的阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低。即使阶数相等，它们的裕量也不同。2．在滤波器的实现过程中，BW型滤波器最容易实现，而椭圆滤波器不易实现（因为它的系统函数H(s)的极点离jw轴最近）。3.由图可以看出，BW型设计的的滤波器没有震荡，而CBI型在通带会有波动，CBII型在阻带有较大波动，椭圆型在通阻带都有波动。且由图可以看出不同滤波器的过渡带的宽度也有差距。【自主学习内容】脉冲响应不变法只适用于带限或高频衰减大的频响特性的模拟滤波器，如衰减特性很好的低通或带通。对于线性变换法，由于s和z之间存在简单的代数关系，这要比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷，所以从模拟系统函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的系统函数。但是由于与w之间存在非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变。【阅读文献】[1]陈后金.数字信号处理[M].北京：高等教育出版社.2008.11【发现问题】双线性变换法跟脉冲响应不变法对相位的影响区别不大，虽然都是失真的。【仿真程序】(1)双线性变换法取T=2进行变换wp=2*pi*2000;ws=2*pi*10000;Ap=0.5;As=50;Fs=44100;Wp=2*atan(wp/(2*Fs));Ws=2*atan(ws/(2*Fs));wp1=tan(Wp/2);ws1=tan(Ws/2);[N,wc]=buttord(wp1,ws1,Ap,As,'s');[num,den]=butter(N,wc,'s');[numd,dend]=bilinear(num,den,0.5);w=linspace(0,pi,512);h=freqz(numd,dend,w);norm=max(abs(h));numd=numd/norm;subplot(2,1,1);plot(w/pi,20*log10(abs(h)/norm));gridon;axis([01-10010]);ylabel('幅度响应');subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(h));gridon;ylabel('相位响应');w=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));冲激响应不变法wp=2*pi*2000;ws=2*pi*10000;Ap=0.5;As=50;Fs=44100;Wp=wp/Fs;Ws=ws/Fs;[N,wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s');fprintf('N=%.0f\n',N);[num,den]=butter(N,wc,'s');[numd,dend]=impinvar(num,den,1);w=linspace(0,pi,512);h=freqz(numd,dend,w);norm=max(abs(h));numd=numd/norm;subplot(2,1,1);plot(w/pi,20*log10(abs(h)/norm));axis([01-10010]);ylabel('幅度响应');gridon;subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(h));ylabel('相位响应');gridon;w=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));N=5Ap=0.0443As=50.0032（2）采用不同的设计类型只需要改变函数类型就可以了，所以程序就不在此赘述。【研讨题目】基本题2．窗函数研究分析矩形窗、汉纳窗、哈明窗、布莱克曼窗、凯泽窗的频域特性，并进行比较。【题目分析】不同窗函数的幅度函数的主瓣宽度，主瓣高度以及响应的图形都有明显的差别。下面我们将通过对时域长度相同的窗函数进行分析来比较不同窗函数的频域特性。我们按照书中的取时域长度为M=30.【仿真结果】幅度响应：【结果分析】各种窗有何特点?由图我们可以看出不同窗函数的主要差别是在幅度响应上而不是相位响应。相位响应都是线性的。通过不同窗函数的频谱图我们可以看出，矩形窗的主瓣宽度最窄，但其幅度响应的幅值最大，旁瓣幅值也是最大的。汉纳窗和哈明窗的主瓣宽度和幅度响应的幅值是一样的，但哈明窗的旁瓣幅值更小。布莱克曼窗的主瓣宽度最宽，旁瓣宽度小，但是主瓣的幅度响应幅值小。最后我们还可以看出，主瓣宽度与主瓣幅值的乘积是定值，即主瓣宽度的增加必将导致主瓣幅值的降低。最后我们会发现凯泽窗幅度响应曲线和矩形窗的完全吻合。这是因为凯泽窗是是一个可以变幻形状的窗函数，当系统没有给值时，默认的为矩形窗，所以是完全符合的。【阅读文献】[1]陈后金.数字信号处理[M].北京：高等教育出版社.2008.11【问题探究】在谱分析中如何选择窗函数，在滤波器设计中如何选择窗函数？矩形窗的过渡带最窄，蛋利用它是基础的FIR滤波器的阻带衰减最小。利用blackman窗史记的FIR滤波器阻带衰减最大，但是其过渡带最宽。减小了窗函数旁瓣的相对幅度会增加主瓣宽度，即提高FIR滤波器阻带衰减是以增加过渡带宽度为代价的。实际中，在满足阻带衰减的前提下，尽可能地选择主瓣宽度较小的窗函数。凯泽窗是可调的，它通过改变窗函数的形状来控制窗函数旁瓣的大小，设计中可根据滤波器的衰减指标来确定窗函数的形状。【仿真程序】M=30;L=512;fsam=1000;wsam=2*pi*fsam;w=(-wsam/2+(0:L-1)*wsam/L)/fsam;w1=ones(1,M);X1=fftshift(fft(w1,L));plot(w,abs(X1),'g');holdon;w2=hanning(M)';X2=fftshift(fft(w2,L));plot(w,abs(X2),'r');holdon;w3=hamming(M)';X3=fftshift(fft(w3,L));plot(w,abs(X3),'y');holdon;w4=blackman(M)';X4=fftshift(fft(w4,L));plot(w,abs(X4),'b');holdon;w5=kaiser(M)';X5=fftshift(fft(w5,L));plot(w,abs(X5),'--');xlabel('Normalizedfrequency');legend('square','hanning','hamming','blackman,''kaiser');title('幅度响应');gridon;【研讨题目】基本题3．窗函数法设计FIR数字滤波器(1)分别用Blackman窗和Kaiser窗法设计一个满足下列指标的线性相位的FIR低通滤波器p=0.4rad,Ap=0.5dB,s=0.6rad,As=55dB(2)（M5-5）在用窗口法设计FIR滤波器时，由于理想滤波器的幅度响应在截频处发生突变，使得设计出的滤波器的幅度响应发生振荡，这个现象被称为Gibbs现象。解决这个问题的一个方案是本书中介绍的用逐步衰减的窗函数。另一个方案是使理想滤波器过渡带为渐变的，如下图所示具有线性过渡带的理想低通滤波器的频率响应，试用窗口法设计逼近该频率响应的FIR滤波器。pHL(ej)sps题3图【(2)单位脉冲响应证明】试证该滤波器的单位脉冲响应为0π)sin(Δ)2/Δsin(2,0,π][cckkkkkkkhL其中：psΔ，2/)(spc【设计步骤】(1)根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器的阶数N并分别应用两种窗函数w(n).即用一个有限长度的窗函数序列w(n)来截取一个无限长的序列hd（n），获得一个有限长序列h（n），即h（n）=w（n）*hd（n）。(2)渐变的窗选为hamming窗。取wp=0.55pi,ws=0.45pi,As=25db,Ap=1db。设hamming窗的长度为M,矩形窗的长度为M1。M1取不同的值作图，其中M=7。【仿真结果】所设计滤波器的幅度响应和相位响应(2)M1=8MI=16M1=32【结果分析】1.由不同窗函数设计的滤波器的幅度响应我们可以看出，Blackman窗设计的滤波器在通阻带都有波动。且阻带衰减值固定。而Kaiser窗法能够根据不同的设计要求来改变窗函数的长度从而来调节通阻带的衰减，使最终的滤波器比较符合实际要求。2.通过逐步衰减的窗函数法和渐变过渡带两种方法设计的滤波器都能较好的设计较小Gibbs现象的滤波器。通过理论分析我们可以知道，FIR滤波器的波动是由于窗函数的主瓣面积和旁瓣面积决定的