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12yA()sinx.从实际问题中抽象出一个或几个三角形,通过正、余弦定理解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解..将实际问题转化为三角函数模型,利用三角函数知识,得到实际问题的解.解斜三角形知识在生产实践中有着极为广泛的应用,如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识.解斜三角形有关的实际问题的思维过程可以用下图表示:解斜三角形应用题的一般步骤是:①分析:准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词术语,如坡度、仰角、俯角、视角、方向角、方位角等,必要时,画出示意图,化实际问题为数学问题;②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;③求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;④检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.解斜三角形应用题常有以下几种情形:①实际问题经抽象概括后,已知与未知量全部集中在一个三角形中,一次可用正弦定理或余弦定理解之;②实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形,这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解;③实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角形,需连续使用正弦定理或余弦定理.运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题,要抓住条件和待求式子的特点,恰当地选择定理.运用正弦定理一般是将边转化为角,而条件中给出三边关系的往往考虑用余弦定理求解.1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s=6sin(2πt+π6),那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A.2πsB.πsC.0.5sD.1s【解析】T=2π2π=1,故选D.2.有一长为100米的斜坡,它的倾斜角为45°,现要把倾斜角改为30°,则坡底需伸长50(6-2)米.【解析】坡的倾斜角即为坡度,依题意知,该坡的高度不变,即仍为502,当坡的倾斜角变为30°时,坡底的长度为506,所以坡度改后,坡底伸长了50(6-2)米.3.在200米高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为()A.4003米B.40033米C.20033米D.2003米【解析】画出示意图(如图),由题意可知,∠DAC=60°,∠OAC=∠DAB=30°,在△AOC中,AO=200,所以OC=20033,而AD=OC=20033,在△ABD中,BD=20033×33=2003,因此塔高为200-2003=4003(米),故选A.4.函数y=xsinx在x=θ处取得极值,则(1+θ2)(1+cos2θ)=2.【解析】f′(x)=sinx+xcosx,由题意,f′(θ)=sinθ+θcosθ=0,所以θ=-sinθcosθ,所以(1+θ2)(1+cos2θ)=(1+sin2θcos2θ)·2cos2θ=2.一解三角形的实际应用题【例1】如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km.试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,2≈1.414,6≈2.449).【解析】在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.在△ABC中,ABsin∠BCA=ACsin∠ABC.即AB=ACsin60°sin15°=32+620,因此,BD=32+620≈0.33.故B,D的距离约为0.33km.【点评】距离问题是测量中最为常见的问题之一,一般地,要求的距离都无法直接测量,通常的做法是选择适当的基线,把要求的量转化到相关的三角形中,通过正弦、余弦定理求解.如图,为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如图所示),飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.素材1【解析】①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角分别为α1,β1;B点到M,N点的俯角分别为α2,β2;A,B的距离d.②第一步:计算AM.由正弦定理得AM=dsinα2sinα1+α2;第二步:计算AN.由正弦定理得AN=dsinβ2sinβ2-β1;第三步:计算MN.由余弦定理得MN=AM2+AN2-2AM·ANcosα1-β1.二三角函数的实际应用题【例2】如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A0,ω0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.(1)求A,ω的值和M,P两点间的距离;(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?【解析】方法1:(1)依题意,有A=23,T4=3.又T=2πω,所以ω=π6.所以y=23sinπ6x.当x=4时,y=23sin2π3=3,所以M(4,3).又P(8,0),所以MP=42+32=5.(2)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5.连接MP,设∠PMN=θ,则0°θ60°.由正弦定理得MPsin120°=NPsinθ=MNsin60°-θ.所以NP=1033sinθ,MN=1033sin(60°-θ),故NP+MN=1033sinθ+1033sin(60°-θ)=1033(12sinθ+32cosθ)=1033sin(θ+60°).因为0°θ60°,所以,当θ=30°时,折线段赛道MNP最长.亦即将∠PMN设计为30°时,折线段赛道MNP最长.【点评】(1)本题第(2)问求解的关键是:①认真分析问题,把实际问题中折线段赛道MNP的长转化为△MNP的两边MN与NP的边长之和;②选取参数∠PMN=θ,利用正弦定理表示出MN和NP的值.(2)在解题中要对限制条件θ∈(0°,60°)给予足够的重视.以一年为一周期调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现:信息1:该商品出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的.已知3月份出厂价格最高,为8元,7月份出厂价格最低,为4元.信息2:该商品在市场销售价格是在8元的基础上,按月份也是随正弦曲线波动的.已知5月份销售价格最高,为10元,9月份销售价格最低,为6元.(1)根据上述信息1和2,求该商品的出厂价格y1和销售价格y2与月份x之间的函数关系式;(2)若某经销商每月购进该商品m件,且当月能售完,则在几月份盈利最大?并说明理由.素材2【解析】(1)依据信息1、2可知,该商品的出厂价格y1和销售价格y2与月份x之间的关系都满足正弦曲线,故可设y1=A1sin(ω1x+φ1)+B1,y2=A2sin(ω2x+φ2)+B2,依题意,得B1=8+42=6,A1=2,T=2(7-3)=8,所以ω1=2πT=π4.所以y1=2sin(π4x+φ1)+6.将点(3,8)代入函数y1=2sin(π4x+φ1)+6得,φ1=-π4,所以y1=2sin(π4x-π4)+6.同理,可得y2=2sin(π4x-3π4)+8.(2)因为利润函数是y=m(y2-y1)=m[2sin(π4x-3π4)+8-2sin(π4x-π4)-6]=m[2-22sin(π4x)],所以当x=6,即6月份时,利润达到最大.【点评】用待定系数法求出y=Asin(ωx+φ)+B的函数关系,是解题的关键.三解三角形与函数、不等式的综合应用题【例3】为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图.要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固,要求AC的长度越短越好,求AC最短为多少米?且当AC最短时,BC的长度为多少米?【分析】在△ABC中,已知c,b的关系,再结合余弦定理,可得BC=a的函数表达式,然后利用基本不等式可求其最值.【解析】设BC=a(a>1),AB=c,AC=b,b-c=12,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos60°,将c=b-12代入得:(b-12)2=a2+b2-ab,化简得b(a-1)=a2-14,因为a>1,所以a-1>0,所以b=a2-14a-1=a-12+2a-2+34a-1=(a-1)+34a-1+2≥3+2.当且仅当a-1=34a-1时取“=”号,即a=1+32时,b有最小值2+3,答:AC最短为(2+3)米,此时BC长为(1+32)米.【点评】先建立AC长度的目标函数,再根据目标函数,求最值.如图,有两条相交成60°的直线xx′,yy′,其交点为O,甲、乙两辆汽车分别在xx′、yy′上行驶,起初甲离O点30km,乙离O点10km,后来两车均以60km/h的速度行驶,且甲沿xx′方向,乙沿yy′方向行驶.求:(1)起初两车的距离是多少?(2)t小时后两车的距离是多少?(3)何时两车的距离最短?素材3【解析】(1)设甲、乙两车最初的位置为A、B,则|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|cos60°=700,故|AB|=107km.(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q,则|AP|=60t,|BQ|=60t.当0≤t≤12时,|PQ|2=(30-60t)2+(10+60t)2-2(30-60t)(10+60t)cos60°;当t12时,|PQ|2=(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120°.上面两式可统一为:|PQ|2=10800t2-3600t+700,即|PQ|=10108t2-36t+7.(3)因为|PQ|=10108t2-36t+7=10108t-162+4,故当t=16时,即在第10分钟末时,两车距离最短.备选例题某昆虫种群数量在1月1日时低至700只,而在当年7月1日时高达900只,其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化.(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式,t以月为单位;(2)画出种群数量y关于时间t的函数图象.【解析】(1)设所求的函数解析式为y=Asin(ωt+φ)+B(A0),则B=700+9002=800,A=100,且T=12=2πω,所以ω=π6,因为图象过点(1,700),故有100sin(π6×1+φ)+800=700,所以π6×1+φ=2kπ-π2,得φ=2kπ-2π3,k∈Z.取绝对值最小的,故φ=-2π3.所以所求的函数解析式为y=100sin(π6t-2π3)+800.(2)其图象为:面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,就像前面的几个例题,在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程,在高考中,将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有:求出三角函数的解析式;画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题.
本文标题:2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第24讲 三角函数的模型及应用
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