2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第25讲 平面向量的概念及线性运算

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.向量的有关概念既有①又有②的量叫做向量.③的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的.④的向量叫做单位向量.方向⑤的⑥向量叫做平行向量(或共线向量).⑦且⑧的向量叫做相等向量.⑨且⑩的向量叫做相反向量.大小方向长度为0长度为1相同或相反非零长度相等方向相同长度相等方向相反2.向量的表示方法用小写字母表示，用有向线段表示，用坐标表示.3.向量的运算加法、减法运算法则：平行四边形法则、三角形法则.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=;(2)当λ0时,λa的方向与a的方向；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ=0时，λa=.运算律：交换律、分配律、结合律.4.平面向量共线定理向量b与非零向量a共线的充分必要条件是.11|λ||a|12相同13相反14015有且只有一个实数λ，使得b=λa5.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内两个的向量，那么对这个平面内任一向量a，.实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.6.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，x、y,使得a=xi+yj,则实数对叫做向量a的直角坐标,16不共线17有且只有一对18有且只有一对实数19(x,y)记作a=(x,y)，其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.相等的向量坐标，坐标相同的向量是的向量.7.平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=.(2)如果,则=.(3)若a=(x,y)则λa=.20相同21相等22(x1±x2,y1±y2)23A(x1,y1),B(x2,y2)24(x2-x1,y2-y1)AB25(λx,λy)128.平行与垂直的充要条件(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件是.9.向量的夹角两个非零向量a和b,作=a，=b，则___________________________叫做向量a与b的夹角,记作.如果夹角是,我们说a与b垂直,记作.2627x1y2-x2y1=0x1x2+y1y2=0OAOB28∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)29〈a,b〉=θ3090°a⊥b311.下列说法中不正确的是(D)A．向量AB→的长度与向量BA→的长度相等B．任一非零向量都可以平行移动C．长度不等且方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点而且长度相等的向量，其终点必相同2.若四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→等于()A．b＋12aB．b－12aC．a＋12bD．a－12b【解析】因为BE→＝AE→－AB→＝AD→＋DE→－AB→＝AD→＋12AB→－AB→＝b－12a，故选B.3.若a＝(2,3)，b＝(4，－1＋y)，且a∥b，则y等于()A．5B．6C．7D．8【解析】因为a∥b，所以2(－1＋y)－3×4＝0，解得y＝7.4.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若a－2b＋3c＝0，则c的坐标为()A．(1，83)B．(133，83)C．(133，43)D．(－133，－43)【解析】由a－2b＋3c＝0，得3c＝2b－a，所以(3x,3y)＝2×(－4，－3)－(5，－2)，所以3x＝－133y＝－4⇒x＝－133y＝－43.故选D.5.如右图，向量a－b等于(D)A．－2e1－4e2B．－4e1－2e2C．e1－3e2D．－e1＋3e2一平面向量的基本概念、线性运算及简单性质【例1】判断下列各题是否正确：(1)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(2)四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB→＝DC→；(3)已知λ，μ∈R，λ≠μ，则(λ＋μ)a与a共线；(4)O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心；(5)已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若OA→＋OB→＋OC→＝0，则O是△ABC的重心．【解析】(1)若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确．(2)若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊CD，所以AB→＝DC→；若四边形ABCD中，AB→＝DC→，则AB綊CD，所以四边形ABCD是平行四边形，判断正确．(3)由实数与向量的积，可知正确．(4)AB→|AB→|与AC→|AC→|分别表示AB→与AC→方向的单位向量，设它们分别为AB→′与AC→′，设以它们为两条邻边的平行四边形是一个菱形AB′P′C′，AP→′平分∠BAC，AP→＝λ(AB→′＋AC→′)与AP→′的方向相同，也平分∠BAC.由OP→＝OA→＋AP→知P的轨迹为∠BAC的平分线，一定通过△ABC的内心，故正确．(5)因为OA→＋OB→＋OC→＝0，所以OA→＝－(OB→＋OC→)，即OB→＋OC→是与OA→方向相反且长度相等的向量．如图所示，以OB、OC为相邻的两边作平行四边形BOCD，则OD→＝OB→＋OC→，所以OD→＝－OA→，在平行四边形BOCD中，设BC与OD相交于E，BE→＝EC→，则OE→＝ED→.所以AE是△ABC的边BC的中线，且|OA→|＝2|OE→|.所以O是△ABC的重心，故正确．【点评】(1)AB→|AB→|表示与AB→同方向的单位向量．(2)向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用．如图所示，▱ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，G为DE与BF的交点．若AB→＝a，AD→＝b，试以a，b为基底表示DE→、BF→、CG→.素材1【解析】DE→＝AE→－AD→＝AB→＋BE→－AD→＝a＋12b－b＝a－12b.BF→＝AF→－AB→＝AD→＋DF→－AB→＝b＋12a－a＝b－12a.易知G为△BCD的重心，则CG→＝23×12CA→＝13(－AB→－AD→)＝－13a－13b.二平面向量的坐标表示【例2】若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，a在基底p＝(－1,2)，q＝(1，－2)下的坐标为(－1,4)，a在另一组基底m＝(－2,2)，n＝(t，s)下的坐标为(－10，－5)，则t，s的值分别为()A．－3，－2B．－3,2C．3,2D．3，－2【解析】由题意知，a＝－p＋4q＝－(－1,2)＋4(1，－2)＝(5，－10)，又a＝－10m－5n＝10(2，－2)－5(t，s)＝(20－5t，－20－5s)，所以(20－5t，－20－5s)＝(5，－10)，即20－5t＝5－20－5s＝－10，解得t＝3s＝－2.故选D.【点评】向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，它可以使向量运算代数化，从而把数与形结合起来，很多几何问题就可以转化为代数运算来解决．利用向量的坐标运算解题，主要是根据“相等向量的坐标相同”这一原则，通过方程(组)进行求解．由于向量a在不同的基底下的坐标不相同，因此解答时要注意向量a的坐标与基底的对应关系．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)交点P的坐标．【分析】根据题意设出P点坐标，然后利用已知条件转化成共线向量的关系，得到方程组，从而求解．素材2【解析】设P(x，y)，则OP→＝(x，y)，AP→＝(x－4，y)．因为P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上，即得OP→∥OB→，AP→∥AC→.由点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)得，AC→＝(－2,6)，OB→＝(4,4)，得方程组6x－4＋2y＝04x－4y＝0，解之得x＝3y＝3.故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)．三平面向量共线问题【例3】设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，试问b与a＋c是否共线？并证明你的结论．【解析】b与a＋c共线，证明如下：因为a＋b与c共线，所以存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc，①又因为b＋c与a共线，所以存在唯一实数μ，使b＋c＝μa，②①－②，得a－c＝λc－μa，即(1＋μ)a＋(－1－λ)c＝0.因为a与c不共线，由平面向量基本定理，得1＋μ＝0－1－λ＝0，解得μ＝λ＝－1，所以a＋b＝－c，即a＋c＝－b，故b与a＋c共线．【点评】解决共线条件下的向量问题，根据共线定理，通过设元建立方程，再利用平面向量的基本定理，比较系数，得到新的方程组，从而可使问题得到解决．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，且平行时它们是同向还是反向？素材3【解析】ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若ka＋b与a－3b平行，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－13，此时ka＋b＝(－103，43)＝－13(a－3b)．因为－130，所以ka＋b与a－3b反向．备选例题已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向【解析】取a＝(1,0)，b＝(0,1)．若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，a与b不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向，排除C，故选D.1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理,平面向量实数对(x,y),任何一个平面向量都有惟一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定惟一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系.即向量(x,y)OA点A(x,y).向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.一一对应一一对应一一对应2.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法.3.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二:一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标;二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.