高中立体几何专题：线面角与线线角

本资料来源于《七彩教育网》、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCDABCD中，下列几种说法正确的是（）A、11ACADB、11DCABC、1AC与DC成45角D、11AC与1BC成60角答案：D。解析：A1C1与AD成45°，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为22。（2）在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（）A、2个B、4个C、6个D、8个答案：B。解析：平面A1ACC1，平面BB1D1D，平面ABC1D1，平面A1D1CC1。（3）正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）A．90ºB．60ºC．45ºD．30º答案：B。解析将BC1平移到E1F即可。（4）在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是。答案：AC⊥BD。解析：过A作AH⊥平面BCD，垂足为H，因为CD⊥AB，BC⊥AD，所以CD⊥BH，BC⊥DH，故H为△BCD的垂心，从而BD⊥CH，可得BD⊥AC。（5）点AB到平面距离距离分别为12，20，若斜线AB与成030的角，则AB的长等于_____.答案：16或64。解析：分A、B在平面α的同侧和异侧进行讨论。例3：如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=2的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明:侧面PAD⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;答案：(Ⅰ)证:∵侧面PAB⊥底面ABCD,且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,在矩形ABCD中,BC⊥AB，.∴BC⊥侧面PAB.(Ⅱ)证:在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.又AD平面PAD,∴侧面PAD⊥侧面PAB.(Ⅲ)解:在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB,垂足为E,连结EC,∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE⊥AB,∴PE⊥底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影.∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角.在△PAB和△BEC中,易求得PE=3,EC=3.在Rt△PEC中,∠PCE=45°.ABCDPABCHSM例4：设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如图,3:4:,65cosPBPAABC求直线PB和平面PAC所成角的大小.答案：3030,21525sin,,,9025cos3,5,3,4所成的角为和平面即直线中在所成的角和面是面面又即的直径是则设PACPBBPCxxBPCBPCRtPACPBBPCPACBCBCPAABCPAACBCACBOABxABCxBCxPBxABxPA【练习】1．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C。解析：连AC、BD交于O，连OE，则OE//SC.60,21222223212cos,22,23,222BEOBEOOEOBBE2．如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。解析：（1）∵SC⊥SB，SC⊥SA，∴SC⊥平面SAB。于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角，为60°。（2）联结SM，CM，∵在Rt△SAB中，∠SBA=45°∴SM⊥AB，∴AB⊥平面SCM。作SH⊥CM于H，则AB⊥SH，故SH⊥平面ABC，所以∠SCH为SC与平面ABC所成的角。设SA=a，则SB=a，SC=3a，SM=22a。在Rt△CSM中，2222132CMSCSMaa，272sinsin772aSMSCHSCMCMa。即SC与平面ABC所成角的正弦值为77。9．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.答案：（Ⅰ）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AC=AD=2，AB=3，∴△ABC≌△ABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM.∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.（Ⅱ）由CD⊥平面ABM，则平面ABM⊥平面BCD，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，722ACABACABBC.在△ACD中，AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=3.在Rt△BCM中，BC=7，CM=1，6BM..362cos222BMABAMBMABABM【练习】1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A、平行B、相交C、异面D、以上都有可能答案：D。解析：注意空间和平面中的位置关系的不同。2．PCPBPA、、是两两成060角的三条射线,则PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A．21B．36C．33D．23答案：C。解析：可放入正四面中考虑。7．已知∠ACB=900，且在平面α内，PC与CA、CB所成角∠PCA=∠PCB=600,求PC与平面α所成角。答案：解：如图过点P作PH⊥平面ABC于H，过点H作HD⊥AC于D，作HE⊥BC于E，连PD、PE，∴PD⊥AC，PE⊥BC，∵∠PCA=∠PCB=600，∴ΔPCD≌ΔPCE，∴CD=CE，∴ΔHCD≌ΔHCE，∴HD=HE，∴CH平分∠ACB，设PC=a∴,22,21aCHaCE∴∠PCH=450，即PC与平面α所成角为450。3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹（）A、线段B1CB、BB1的中点与CC1中点连成的线段C、线段BC1D、CB中点与B1C1中点连成的线段答案：A。解析：B1C⊥面BD1C1，∴P点轨迹为线段B1C。。PBαCAPBαCAEDH5．一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直二面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____。答案：52。解析：CD为斜边上的高，设5242,22ABxBD552525222x58555252ADCDADCDBDABCD,,ADB为二面角的平面角，2ADB22)558()552(AB5852253202052422)8552(42cos222ACB6．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，12PDCDADAB，∠ADC＝120º，⑴求证：求异面直线AD，PB的所成角；⑵若AB的中点为E，求二面角D－PC－E的大小。答案：⑴连BD，∵∠ADC＝120º，AB∥CD，∴∠DAB＝60º，又12ADAB，∴32BDAB∴AD⊥BD，又∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，∴AD⊥平面PDB，∴AD⊥PB，即异面直线AD、PB的所成角为90°。⑵连DE，由已知可得△DEC为正三角形，取DC的中点F，连EF，则EF⊥CD，∵PD⊥面ABCD，∴EF⊥PD，∴EF⊥面PCD，过F作FG⊥PC，连EG，则∠EGF为二面角D－PC－E的平面角设CD＝a，则32EFa，在△PDC中，2PCa，则1222CPPDaFGPC∴tan6EFEGFFG∴arctan6EGF（注：本题用空间向量做也可）7．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=2a，BC=CA=AA1=a，A1在底面ABC上的射影O在AC上.（Ⅰ）求AB与侧面AC1所成的角；（Ⅱ）若O恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.答案：(Ⅰ)在△ABC中，AB=a2，BC=AC=a,∴△ABC是等腰直角三角形，BC⊥AC，∠CAB=45°,又BC⊥A1O，故BC⊥侧面AC1，AB与侧面AC1所成角就是∠BAC=45°.（Ⅱ）由（Ⅰ）知四边形B1BCC1为矩形，ACOACOAaSBCCB为,.1211中点，ABOEaOAACSaOAACCA作.23,2321111于E，连结A1E，则AB⊥A1E.在Rt△AOE中，aAOOE4222，在Rt△A1EO中，.4142211aOEOAEA221)723(.2711aSaEAABSAABB侧.8．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)当k＝21时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(Ⅱ)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？答案：(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC中点，ODPA∥PAPAB又平面，ODPAB平面∥ABBCOAOC，，OAOBOC，OPABC又平面，.PAPBPCEPEBCPOE取BC中点，连结，则平面，OFPEFDFOFPBC作于，连结，则平面ODFODPBC是与平面所成的角.又ODPA∥，PA与平面PBC所成的角的大小等于ODF，210sin,30OFRtODFODFOD在中，(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OFPBC平面，∴F是O在平面PBC内的射影奎屯王新敞新疆∵D是PC的中点，若点F是PBC的重心，则B，F，D三点共线，∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，,,OBPCPCBDPBPC，即1k奎屯王新敞新疆反之，当1k时，三棱锥OPBC为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心奎屯王新敞新疆DOABCP