《第21讲 直角三角形与勾股定理 》2014届中考数学第一轮夯实基础(课本回归+考点聚焦+典例题解析

第21讲┃直角三角形与勾股定理第21讲┃考点聚焦考点聚焦考点1直角三角形的概念、性质与判定定义有一个角是________的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角互余(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于______________(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于________________斜边的一半直角斜边的一半第21讲┃考点聚焦(1)两个内角互余的三角形是直角三角形判定(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形拓展(1)SRt△ABC＝12ch＝12ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；(2)Rt△ABC内切圆半径r＝a＋b－c2，外接圆半径R＝c2，即等于斜边的一半第21讲┃考点聚焦考点2勾股定理及逆定理勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方．即：________勾股定理的逆定理逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系：________，那么这个三角形是直角三角形用途(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问题勾股数能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数a2＋b2＝c2a2＋b2＝c2考点3互逆命题第21讲┃考点聚焦互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做______，那么另一个叫做它的______互逆定理若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的________，称这两个定理为互逆定理原命题逆命题逆定理考点4命题、定义、定理、公理第21讲┃考点聚焦定义在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义命题定义判断一件事情的句子叫做命题分类正确的命题称为________错误的命题称为________组成每个命题都由______和______两个部分组成公理公认的真命题称为________定理除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为________．经过证明的真命题称为________真命题假命题条件结论公理证明定理第21讲┃归类示例归类示例►类型之一利用勾股定理求线段的长度命题角度：1.利用勾股定理求线段的长度；2.利用勾股定理解决折叠问题．例1[2013·黄石]将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为()图21－1D第21讲┃归类示例[解析]如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6(cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝2AB＝62(cm)．第21讲┃归类示例变式题[2012·广州]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是()AA.365B.1225C.94D.334第21讲┃归类示例[解析]根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，根据勾股定理得：AB＝AC2＋BC2＝15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴CD＝AC·BCAB＝9×1215＝365，则点C到AB的距离是365.故选A.第21讲┃归类示例勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．►类型之二实际问题中勾股定理的应用命题角度：1.求最短路线问题；2.求有关长度问题．第21讲┃归类示例例2如图21－2，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点B1到最短路径的距离．第21讲┃归类示例图21－2第21讲┃归类示例解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝（4＋4）2＋52＝89.l1l2，最短路径的长是l2＝89.(3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝B1C1AC1·AA1＝489·5＝208989.第21讲┃归类示例利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．►类型之三勾股定理逆定理的应用例3[2013·广西]已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有()A．②B．①②C．①③D．②③第21讲┃归类示例命题角度：勾股定理逆定理．D第21讲┃归类示例[解析]根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．①∵22＋32＝13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32＋42＝52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；③∵12＋(√3)2＝22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故构成直角三角形的有②③.故选D.第21讲┃归类示例判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．►类型之四定义、命题、定理、反证法例4[2013·淄博]下列命题为假命题的是()A．三角形三个内角的和等于180°B．三角形两边之和大于第三边C．三角形两边的平方和等于第三边的平方D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半第21讲┃归类示例命题角度：1．定义、命题、定理的含义；2．区分命题的条件(题设)和结论；3．逆命题的概念，识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立．C第21讲┃归类示例[解析]选项A和B中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理，均为真命题；对于选项C，只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其他三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题；选项D中的命题是三角形的面积计算公式，也是真命题，故应选C.变式题[2011·德州]下列命题中，其逆命题是真命题的是________．(只填写序号)①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．第21讲┃归类示例①④[解析]①的逆命题：两直线平行，同旁内角互补，正确；②的逆命题：相等的两个角是直角，错误；③的逆命题：如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等，错误，如：22＝(－2)2，但2≠－2；④的逆命题：如果一个三角形是直角三角形，则它的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，正确．第21讲┃归类示例只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．第21讲┃回归教材巧用勾股定理探求面积关系回归教材教材母题江苏科技版八上P68T6如图21－3，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．图21－3第21讲┃回归教材解：记直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是S1＋S2＝S3.理由如下：S1＝12πBC22＝18πBC2；S2＝12πAC22＝18πAC2；S3＝12πAB22＝18πAB2.而由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2，于是可得S1＋S2＝S3.第21讲┃回归教材中考变式[2011·贵阳]如图21－4，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________．图21－4312第21讲┃回归教材[解析]第1个三角形的面积为12，第2个三角形的面积为12×(2)2＝1，第3个三角形的面积为12×22＝2，第4个三角形的面积为12×(8)2＝4，第5个三角形的面积为12×42＝8，故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为12＋1＋2＋4＋8＝312.