14.1 轴对称图形(3)线段垂直平分线

八年级数学第十四章轴对称线段的垂直平分线张店区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC实际问题1ABL实际问题2在成渝高速公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？成渝高速公路命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。14.1线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=CB.已知：如图，点P在MN上.求证：证明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB在ΔPAC和ΔPBC中，AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC∴PA=PB定理线段垂直平分线的性质线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（点到点的距离）如图:若:CD⊥AB于C,且AC=BC则:MA=MB【用几何语言表达】线段的垂直平分线ABPC性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上?逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。定理二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等你能根据上述定理和逆定理，说出线段的垂直平分线的集合定义吗？三、线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合判断（1）如图，CDAB于D，则AC＝BC。（）ABCDABCD判断（1）如图，CDAB于D，则AC＝BC。（）ABCDABCD（2）如图，AD＝BD，则AC＝BC。（）如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________,DA=____.ABEDC（1）46MN是AB的垂直平分线，EF是BC垂直平分线。PA与PC是否相等，为什么？MEPABCFN如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.ABCDE(2)26如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（）cm。∟ADEBCMNA.6B.7C.8D.99ACBDE你能找到图中相等的角吗?如图，在△ABC中，∠C=90，AB的中垂线DE交BC于D，交AB于E，连接AD，若AD平分∠BAC，找出图中相等的线段，并说说你的理由。解：∵AB的中垂线DE交BC于D，交AB于E，∴EB=EA，DB=DA；∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AC=AE∴∠DAB=∠ABC=∠DAC，14.1线段的垂直平分线例1已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC;BACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上分析：结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC;证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴PA=PB（？）.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.BACMNM’N’P张店区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC实际问题1BAC14.1线段的垂直平分线1、求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点距离相等.实际问题数学化pPA=PB=PC实际问题1中心广场南街新世纪外国语学校新天地ＡＢＡ′Ｍ麦当劳策划在南街上开设分店。为了方便顾客，总部要求分店经理在选址时必须使分店到新世纪学校与分店到阳光天地的距离要相等？如果你作为分店经理,你应该怎样选址?Ｍ麦当劳策划在南街上开设分店。为了方便顾客，总部要求分店经理在选址时必须使分店到新世纪学校与分店到阳光天地的距离之和最小？如果你作为分店经理,你又应该怎样选址?14.1线段的垂直平分线2、如图，在直线L上求作一点P，使PA=PB.LAB实际问题数学化实际问题2pPA=PB数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务如图，古罗马有一位将军，他每天都要从驻地A出发，到河边饮马，再到河岸同侧的军营B巡视。他经常想因该怎样走才能使路程最短，但他百思不得其解。LBAB′CABA′如图，EFGH是矩形的台球桌面，有两球分别位于A、B两点的位置，试问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反弹后再击中B球？EFGH解：1．作点A关于EF的对称点A′2．连结A′B交EF于点C则沿AC撞击黑球A，必沿CB反弹击中白球B。C某一个星期六，初一年级的同学参加义务劳动，其中有四个班的同学分别在M、N两处参加劳动，另外四个班的同学分别在道路AB、AC两处劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个荼水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你找出点P的位置，并说明理由。AMBNCP问题探讨：1、如图，在ΔABC中，AD⊥BC于D，AB+BD=DC。试问：∠B与∠C是什么关系？OAB.C.D2、在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？13.3角的平分线ODEABPC定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合14.1线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条直线例：如图所示，AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，借助于轴对称的性质想一想：CD与AB＋BD相等吗？请说明你的理由。ABCD•答：相等，理由如下：在DC上截取DE使DE＝DB，连接AE∵AD⊥BE且DB＝DE∴B、E关于AD对称∴△ABD与△AED关于直线AD对称∴△ABD≌△AED∴AB＝AE，∠AED＝∠B又∵∠B＝2∠C∴∠AED＝2∠C而∠AED＝∠C＋∠CAE∴∠CAE＝∠C∴AE＝CE∴AB＝CE故AB＋BD＝DE＋EC即：AB＋BD＝CDABCDE