高二数学选修2-2(3.1.1 数系的扩充和复数的概念)

数系的扩充和复数的概念问题提出1.数的概念产生和发展的历史进程：正分数正无理数零和负数NQ＋R＋R数系每次扩充的基本原则：第一，增加新元素；第二，原有的运算性质仍然成立；第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.2.若，则对此你有什么困惑？11xx22211()21.xxxx3.唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力.由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系.探究（一）：虚数单位的引入思考1：由得，这与矛盾的原因是什么？11xx2211xx2210xx方程x2x10无实根思考2：方程x2x10无实根的根本原因是什么？负数不能开平方，即负数在实数范围内没有平方根思考3：我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是1的平方根，即i21，那么方程x2x10的根是什么？13i22思考4：若x41，利用i21,则x等于什么？1，1，i，i.思考5：满足i21的新数i显然不是实数，称为虚数单位，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律？乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.思考6：设a∈R，下列运算正确吗？iiaaiiaa(i)iaa32iiii21iiii探究（二）：复数的有关概念思考1：虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？a＋bi（a，bR）思考2：把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？C＝{a＋bi|a，b∈R}思考3：复数通常用字母z表示，即za＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部，那么复数z3i的实部和虚部分别是什么？2实部为,虚部为3.2注意：复数的实部和虚部都是实数思考4：两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：a＋bic＋di（a，b，c，d∈R）的充要条件是ac且bd，那么a＋bi0的充要条件是什么？ab0思考5：对于复数za＋bi（a，b∈R）当b0时，z为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？当b0时z为实数.实数集R是复数集C的真子集.思考6：对于复数zabi（a，b∈R）当b≠0时，z叫做虚数，当a0且b≠0时，z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之间如何？纯虚数集是虚数集的真子集.思考7：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？复数实数虚数纯虚数思考8：两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？虚数不能比较大小.理论迁移例1实数m取什么值时，复数zm＋1＋(m－1)i分别是实数，虚数和纯虚数？当m＝1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；当m＝－1时，z是纯虚数.1.复数(m23m+2)+(m24)i是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数练习：答案：(1)m=2(2)m≠2且m≠2(3)m=12.若复数是虚数，求实数x的取值范围.21ilg(2)(R)32xzxxxx33(2,)(,1)(1,0)22答案：例2设复数z1(xy)(x3)i，z2(3x2y)yi，若z1z2，求实数x，y的值.x＝－9，y＝6.练习：求适合下列方程的x和y(x,y∈R)的值：（1）(x+2y)i=6x+(xy)i；（2）(x+y+1)(xy+2)i=0答案：25,33xy（2）31,22xy（1）例3.在复数范围内求解三次方程x3+1=0(x+1)(x2x+1)=0略解：∴x+1=0或x2x+1=0∴x=1或213()24x∴x=1或13i22x故在复数范围内，方程x3+1=0有三个根由原方程得练习：在复数范围内解方程x310答案：1x或13i22x小结作业1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支.2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成a＋bi（a，b∈R）的形式.3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如x2≥0；若xy＞0，则x＞y等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题.作业：P104练习：1，2，3.P106习题3.1A组：1，2.