高二数学选修2-2~2.2.1直接证明-综合法和分析法

※2.2直接证明与间接证明※2.2.1综合法和分析法2020年5月28日星期W苏教高中数学选修2-2注:(1)演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.(2)数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习回顾推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）引例1已知a0,b0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:为数证例:.已知a、b、c不全相等的正，b+c-ac+a-ba+b-c求：++3.abc利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.若用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…特点:由因导果.Ex1在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．?:?A,B,C成等差数列可得什么由a,b,c成等比数分由列可得什么析引例2回顾基本不等式：(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证只需证只需证只需证因为成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．特点：执果索因.则用框图表示分析法的思考过程、特点：1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…若用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论，Ex2如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证：AF⊥SCFESCBA证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以AF⊥SC成立bc+caca+abab+bc=++222222abc+abc+abc=a+b+c.法1:∵a、b、c不相等正，且abc=1，111∴++=bc+ca+ababc证为数例.已知a、b、c不相等正，且abc=1，111求：a+b+c++.abc为数证.111∴a+b+c++成立abc综合法补例分析111111+++bccaab++222111=++.abc法2:∵a、b、c不相等正，且abc=1，111∴a+b+c=++bccaab证为数.111∴a+b+c++成立abc例.已知a、b、c不相等正，且abc=1，111求：a+b+c++.abc为数证：例已知a5，求：a-5-a-3a-2-a.证•证明:•要证•只需证•只需证•只需证•只需证•因为成立.•所以成立.a-5-a-3a-2-aa-5aa-2+a-3a(a-5)(a-2)(a-3)a(a-5)(a-2)(a-3)0606a-5-a-3a-2-a分析法补例分析若用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:……PP1P1P2Pn-1PnQm-1QmQQ1Q1Q2