2实变函数

第一节外测度第二章测度理论1.引言iniiTbaxfdxxfR10||||)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1xi(1)Riemann积分回顾（分割定义域）新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）iniibamEdxxfL10],[lim)()(yiyi-1})(:{1iiiyxfyxEiiiyy1用mEi表示Ei的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?•圆的面积)(22sin22cos22sin22122nRRnnnRnRn内接正n边形的面积（内填）内接)(cos1sin2222122nRRnnnRnRtgn外切外切正n边形的面积（外包）•达布上和与下和•Riemann积分iniiTbaxfdxxfR10||||)(lim)()(xi-1xiiniiTbaxmdxxf10||||lim)(达布下和的极限下积分（内填）xi-1xiiniiTbaxMdxxf10||||lim)(达布上和的极限上积分（外包）•Jordan测度}:||inf{)(11为开区间且iininiiJIIEIEmJordan外测度（外包）JJEmEm)()(Jordan可测}:||sup{)(11为两两不交的开区间且iininiiJIEIIEmJordan内测度（内填）例：设E为[0,1]中的有理数全体，则E不Jordan可测1)(JEm由于任一覆盖[0,1]中的有理数全体的有限开覆盖也一定能覆盖除有限个点外的[0,1]，从而0)(JEm由于无理数在[0,1]中稠密，故任一开区间都不可能含在E内，从而JJEmEm)()(所以，即E不Jordan可测([())()(()])０１([])-ε０１1+ε2Lebesgue外测度(外包)为E的Lebesgue外测度。定义：，称非负广义实数nRE设)}{(*RR}:||inf{11为开区间且iiiiiIIEIEm与Jordan外测度比较：}:||inf{)(11为开区间且iininiiJIIEIEm下确界：SinfxSxS,)1(的下界，即是数集xSxS使得即的最大下界，是数集,,0)2(}:||inf{11为开区间且iiiiiIIEIEmEmIEmIEIiiiii*1*1||},{,0且使得开区间列即：用一开区间列“近似”替换集合E}{iI例设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0证明：由于E为可数集，2111||iiiiiiEII则且0*Em再由ε的任意性知},,,{]1,0[321rrrQE故不妨令,3,2,1),,(,01122irrIiiiii作开区间Em*从而()1122iiiiirrr22221122122222(,)(,),(,),1,2,3,iiiiiiiiiiiIrrrrrrQQi2222(1,1)(,),1,2,3,iiiiiiIrrrZi，2.平面上的x轴的外测度为0思考：１.设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0思考：3.我们知道有理数与无理数在[0,1]上都稠密，问证明中的开区间列是否覆盖了区间[0,1]),(||,]1,0[,0,]1,0[111222iiiiiiiirrIxrxQrQx，则有从而取使得由无理数集在[0,1]上稠密可知上面叙述的错误出在取，因为i的取定依赖于δ12i,3,2,1),,(1122irrIiiiii},,,{]1,0[321rrrQEiiiiI211||()1122iiiiirrr思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，则这有限个开区间也覆盖[0,1]（除有限个点外）注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Ｃantor集的余集的构成区间）([())()(()])０１注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列5.对Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）（2）Lebesgue外测度的性质(b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。BmAmBA，则若（b）单调性：}:||inf{11为开区间且iiiiiIIEIEm0Em0Em（a）非负性：，当E为空集时，（C）次可数可加性证明：对任意的ε0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间{Inm}列近似替换An）nnmnmnnmmnnmnnAmIAmIAIII2||,,,,*1*121且使得**,11111||||()2nmnmnnnnmnmnnIImAmA且111nnmnnmAI从而**1111()||nnmnnnmnmAImA可见注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界nnnnAmAm*11*)(nnnnAmAm*11*)(由的ε任意性，即得注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:)(||)(},{,0*1*BAmIBAmIiii使得开区间列}:||inf{)(11为开区间且iiiiiIIBAIBAm当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。)()()(*BmAmBAm若d(A,B)0,则例证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广||IEmI对任意区间，有例：Cantor集的外测度为0。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集0)(||)()(32213121)()(21**niininiinnnnIImPm从而0Pm故nniiI2,2,1)(证明：令第n次等分后留下的闭区间为第二节可测集合第二章测度理论Lebesgue外测度(外包)nnnnAmAm*11*)(次可数可加性(即使Ａn两两不交)}:||inf{11为开区间且iiiiiIIEIEm即：用一开区间列“近似”替换集合EEmIEmIEIiiiii*1*1||},{,0且使得开区间列1.可测集的定义注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。EEcT∩ET∩Ec,nRT若)()(*cETmETmTm有mE（Caratheodory条件），则称E为Lebesgue可测集，此时E的外测度称为E的测度，记作例：零集E必为可测集***()()()()()cmTmTEmTEmEmTmT有nRT证明：*()()cmTmTEmTE从而即E为可测集。)()(,*cnETmETmTmRT有2.Lebesgue可测集的性质证明：(充分性）nRT即可令cETBETA,(必要性)令BAT有,,cEBEA)()()(*BmAmBAm)()(,*cnETmETmTmRT有（a）集合E可测（即）即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；11,,,,,ciiiiAABABABAA（b）若A,B,Ai可测，则下述集合也可测nABTR若，则*(())()()mTABmTAmTB有注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得若Ai两两不交，则（测度的可数可加性）11)(iiiimAAm若A,B可测，则有可减性,,mABAmAmBABm)(可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；也可测。若可测已证明，则易知BAcccBABA)(cBABAnRT)()(*cETmETmTm有易知Ac可测证明：由可测集的定义：可测余即可证明通过取两不交情形把一般情形转化为两可过令则通可测已证明为两两不交时若当iniininniiiAAABAA1111;,,******(())(())((1)(2))((3)(4))((1)(2))((3)(4))()((1)(2)(3)(4))()()cmTmTABmTABmmmmmmBmAmT有可测可测*(())(())cmTmTABmTAB从而nRT证明：(1)(2)(3)(4)ＴBAAB下面证明若A,B可测，则可测))(()())(()(())(()((1*11*11*1ciiniiciiiniciniiniATmATmATmATmATmATmTm))(())(((*)))(()(1*11*1ciiiiciiiiATmATmATmATmTm从而))(())((1*1ciiiiATmATmTm另外显然有，有证明：nRT))(())((1*1ciiiiATmATmTm从而即得结论）式，入（代并用可测从而*,11iiiiATA11)(iiiimAAm下面证明若Ai两两不交，则例：设[0,1]中可测集A1,A2,…,An满足条件则必有正测度。11niimAniniA111([0,1])niimA))(]1,0([)))((()(111cinicciniiniAmAmAm证明：0)1()1(111nmAmAiniini)(])1,0([)]1,0([11ciniciniAmmAm注：左边的极限是集列极限，而右边的极限是数列极限，(b)中的条件不可少1mAnnnnmAAmlim)lim((a)若An是递增的可测集列，则nnnnmAAmlim)lim(则1mA(b)若An是递减的可测集列且如An=(n,+∞)（n单调可测集列的性质)()(11211nnnnAAAAAAmAmBABm)(则,,mABABA可测，，若注：若An是递减集列，若An是递增集列，nnnnAA1limnnnnAA1lim第三节开集的可测性第二章测度理论注：开集、闭集既是型集也是型集；有理数集是型集，但不是型集；无理数集是型集，但不是型集。GGGFFF有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余型集与型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）GFI例区间是可测集，且FG注：零集、区间、开集、闭集、型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个