数学中考热点题型五 二次函数与几何图形综合题

数与几何图形综合题类型一与特殊三角形形状有关针对演练1.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为（0,3），与x轴交于点A、B，顶点为D.（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B、D的坐标，并确定四边形ABDC的面积；（3）点P是x轴上的动点，连接CP，若△CBP是等腰三角形，求点P的坐标.2.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点M（-2,3），顶点为N（-1,433），与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.（1）求抛物线解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点Q是抛物线对称轴上一点，当△QBC是直角三角形时，求点Q的坐标.3.如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1,0），C（0,2）.（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.4.如图，已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),顶点为P.①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.答案1.解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为112bx，解得b=2，∵抛物线过点C（0,3），∴c=3，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）由抛物线y=-x2+2x+3，令y=0得，-x2+2x+3=0，解得x1=-1,x2=3，∴点A（-1,0），点B（3,0），当x=1时，y=-12+2+3=4,∴点D的坐标为（1,4）.如解图，过D作DM⊥AB于M，则OM=1，DM=4，∴S四边形ABDC=S△AOC+S四边形OMDC+S△BMD=12AO·OC+12（OC+MD）·OM+12BM·DM=12×1×3+12×（3+4）×1+12×4×2=9.（3）设点P的坐标为（t,0），则PC2=t2+32，PB2=(3-t)2，∴BC2=32+32=18，若△PBC是等腰三角形，则有①PC2=PB2，即t2+9=(3-t)2，解得t=0，此时点P的坐标为（0,0）；②PC2=BC2，则t2+9=18，解得t=3（舍）或t=-3，此时点P的坐标为（-3,0）；③PB2=BC2则(3-t)2=18，解得t=3+32或t=3-32，此时点P的坐标为（3+32,0）或（3-32,0）.2.解：（1）由抛物线的顶点为N（-1,433），故设抛物线的顶点式为y=a(x+1)2+433，将点M（-2,3）代入解析式得，a×(-2+1)2+433=3，解得a=33,∴抛物线的解析式为y=-33(x+1)2+433.即y=33x2233x+3.（2）对于抛物线y=33x2-233x+3，令y=0,得33x2-233x+3=0，解得x1=1,x2=-3，∴点A（1,0），点B（-3,0），令抛物线x=0,得y=3，∴点C的坐标为（0,3）.∴AB2=42=16,AC2=12+(3)2=4,BC2=32+(3)2=12,∴AB2=AC2+BC2,∴△ABC是直角三角形.(3)由抛物线顶点N（-1,433）知抛物线的对称轴为x=-1，设点Q的坐标为（-1,t），则BQ2=(-3+1)2+t2=4+t2,CQ2=(-1)2+(t-3)2=t2-23t+4，BC2=12.要使△BQC是直角三角形，(ⅰ)当∠BQC＝90°，则BQ2+QC2=BC2,即4+t2+t2-23t+4=12，解得t1=32+112,t2=32-23，此时点Q的坐标为（-1，32+112）或（-1，32-112）；（ⅱ）当∠QBC＝90°，则BQ2+BC2=QC2，即4+t2+12=t2-23t+4，解得t=-23，此时点Q的坐标为（-1，-23）；（ⅲ）当∠BCQ=90°时，则QC2+BC2=BQ2，即t2-23t+4+12=4+t2，解得t=23，此时点Q的坐标为（-1,23）.综上，当△QBC是直角三角形时，点Q坐标为（-1，3112），（-1，±23）3.解：（1）∵点A（-1,0），C（0,2）在抛物线上，∴1022mnn，解得322mn∴抛物线解析式为y=-12x2+32x+2；（2）△ACD是等腰三角形.理由：∵抛物线y=-12x2+32x+2的对称轴为直线x=32，∴点D（32,0），∵A（-1,0），C（0,2），∴AC=5，AD=1+32=52,CD=22352()22，∴AD=CD≠AC，∴△ACD是等腰三角形；（3）令抛物线y=-12x2+32x+2=0，得x1=-1,x2=4,∴点B的坐标为（4,0），则BC=25，取BC的中点为S，则点S的坐标为（2,1）；设点P（32,t），则PS=12BC=5，即(2-32)2+(t-1)2=5，解得t1=1+192,t2=1-192，∴存在这样的点P，其坐标为（32,1+192）或（32，1-192）.4.解：（1）当y=0时，x2-4x+3=0，∴x1=1，x2=3，即：A(1，0),B(3，0);（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：（Ⅰ）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标都为2；（Ⅱ）都经过A(1，0),B(3，0)两点；②存在实数k，使△ABP为等边三角形.∵y=kx2-4kx+3k=k（x-2）2-k,∴顶点P（2，-k）.∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB=2，要使△ABP为等边三角形，必满足|-k|=3，∴k=±3；③线段EF的长度不会发生变化.∵直线y=8k与抛物线L2交于点E、F两点，∴kx2-4kx+3k=8k,∵k≠0,∴x2-4x+3=8,∴x1=-1，x2=5，∴EF=x2-x1=6，∴线段EF的长度不会发生变化且EF＝6.类型二与特殊四边形形状有关针对演练1.抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，点D在x轴的正半轴.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点D在第二象限，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使AC=2BC，连接OA，OB，BD和AD.（1）若点A的坐标为（-4,4），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求直线BD的解析式；（3）是否存在b、c使得四边形AOBD是矩形，若存在，直接写出b与c的关系式；若不存在，说明理由.3.如图，已知直线y=43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段AB的中点，抛物线y=ax2+bx+c(a0)过O、A两点，且其顶点的纵坐标为43.(1)分别写出A、B、C三点的坐标；(2)求抛物线的函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点P，使得以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.4.（’15毕节16分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.第4题图（1）求抛物线的解析式;（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积;（3）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式;若不存在，请说明理由.5.(’15黄冈14分)如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.（1）求OE的长；（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（4）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.答案1.解:（1）把A(0,2),B(3,2)代入y=x2+bx+c,得2932cbc，解得32bc，∴抛物线的解析式为：y=x2-3x+2,当y=0时，x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0).（2）存在.理由：∵A(0，2)，B(3，2)，∴AB∥x轴，且AB=3,要使A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，则只要CD=AB=3.①当C点坐标为（1，0）时，D坐标为（4，0）；②当C点坐标为（2，0）时，D坐标为（5，0）.∴存在点D，使以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，D点的坐标为（4，0）或（5，0）.2.解：（1）∵CA∥x轴，点A的坐标为（-4,4），∴点C的坐标为（0,4），将点A与点C代入y=-x2+bx+c得16444bcc，解得44bc，∴抛物线的解析式为y=-x2-4x+4；（2）∵AC=2BC，∴BC=2，∴点B的坐标为（2,4），由抛物线y=-x2-4x+4得顶点D的坐标为（-2,8），设直线BD的解析式为y=kx+m，则2824kmkm，解得16km，∴直线BD的解析式为y=-x+6.（3）存在，b与c的关系式为b=-2c.【解法提示】∵点C的坐标为（0，c），抛物线的对称轴为x=2b＜0，即b＜0，AC∥x轴，∴点A的坐标为（b,c），∵AC=2BC，∴点B的坐标为（-2b,c），则AB的中点坐标为（4b,c），若四边形AOBD是矩形，则需①OD的中点坐标为（4b,c）；②OD=AB，由①得点D的坐标为（4b,2c），由②得(32b)2=(4b)2+(2c)2，整理得2c2=b2，∵c＞0，b＜0,∴b=-2c.3.解：（1）令y=0，即-43x+8=0，得x=6,∴A点坐标为（6，0），令x=0,则y=8，∴B点坐标为（0，8），∴C点坐标为（3，4）.（2）∵点C在抛物线的对称轴上，∴抛物线顶点坐标为（3，-43）.依题意有036604933cabcabc,解得427890abc,∴抛物线的函数解析式为248279yxx；（3）存在.∵∠AOB＝90°，A（6，0）、B（0，8），∴22226810ABOAOB,∵C是AB的中点，∴OC=12AB=BC=5,∵OB=8,∴OB＞OC，且OB＞BC，∴当以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形时，OB是菱形的对角线，连接PC，则OB是PC的垂直平分线，∴点P与点C关于y轴对称，∵C（3，4），∴P（-3，4），把点P（-3，4）代入抛物线解析式248279yxx得：当x＝-3时，y＝427×（-3）2-89×（-3）＝4，∴点P（-3，4）在抛物线上.故在抛物线上存在点P，使以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形，且点P的坐标是（-3，4）.4.解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1,0），B(3,0),∴抛物线的解析式为y＝（x+1）(x-3)＝x2-2x-3；……………………（4分）（2）∵抛物线y＝x2-2x-3=(x-1)2-4，∴点