Simulink建模与仿真 第3章 动态系统模型及其Simulink表示

第3章第3章动态系统模型及其Simulink表示3.1简单系统模型及表示3.2离散系统模型及表示3.3连续系统模型及表示3.4混合系统模型及表示第3章3.1简单系统模型及表示3.1.1简单系统的基本概念不同系统具有不同数量的输入与输出；一般来说，输入输出数目越多，系统越复杂。最简单的系统一般只有一个输入与一个输出，而且任意时刻的输出只与当前时刻的输入有关。本节首先介绍简单系统的基本概念以及简单系统的Simulink表示。第3章【定义3.1】简单系统。对于满足下列条件的系统，我们称之为简单系统：(1)系统某一时刻的输出直接且唯一依赖于该时刻的输入量。(2)系统对同样的输入，其输出响应不随时间的变化而变化。(3)系统中不存在输入的状态量，所谓的状态量是指系统输入的微分项（即输入的导数项）。第3章设简单系统的输入为x，系统输出为y，x可以具有不同的物理含义。对于任何系统，都可以将它视为对输入变量x的某种变换，因此可以用T []表示任意一个系统，即y＝T[x]对于简单系统，x一般为时间变量或其它的物理变量，并具有一定的输入范围。系统输出变量y仅与x的当前值相关，从数学的角度来看，y是x的一个函数，给出一个x值，便有一个y值与之对应。第3章【例3.1】对于如下的一个系统：1,]1,0[,212tutuy其中为系统的输入变量，为时间变量，y为系统的输出变量。输入变量。很显然，此系统服从简单系统的条件，为一简单系统。系统输出仅由系统当前时刻的输入决定。第3章3.1.1简单系统的描述方式一般来讲，简单系统都可以采用代数方程与逻辑结构相结合的方式进行描述。1.代数方程采用数学方程对简单系统进行描述，可以很容易由系统输入求出系统输出，并且由此可方便地对系统进行定量分析。2.逻辑结构一般来说，系统输入都有一定的范围。对于不同范围的输入，系统输出与输入之间遵从不同的关系。由系统的逻辑结构可以很容易了解系统的基本概况。第3章3.1.1简单系统的Simulink描述本章主要介绍动态系统的基本知识，为使用Simulink进行系统仿真打下基础。因此这里并不准备建立系统的Simulink模型，而是采用编写M脚本文件的方式对系统进行描述并进行简单的仿真。下面以【例3.1】中的简单系统为例，说明在Simulink中如何对简单系统进行描述。第3章【例3.1】中的简单系统，编写如下的systemdemo1.m脚本文件进行描述与分析。%systemdemo1.m文件u=0:0.1:10;%设定系统输入范围与仿真步长leng=length(u);%计算系统输入序列长度fori=1:leng%计算系统输出序列ifu(i)=1%逻辑判断y(i)=u(i).^2;elsey(i)=sqrt(u(i));endendplot(u,y);grid;%绘制系统仿真结果第3章图3.1简单系统的输入输出关系图第3章3.2离散系统模型及表示3.1.1离散系统的基本概念前面所涉及到的系统中，无论是系统的输入还是系统的输出均是连续的变量，在这里连续指的是系统的输入与输出均在时间变量上连续取值（与数学上函数连续概念并不相同）。本节将简单介绍离散系统的基本概念，系统的描述与简单仿真。所谓离散系统，是指系统的输入与输出仅在离散的时间上取值，而且离散的时间具有相同的时间间隔。下面给出离散系统更全面的定义。第3章【定义3.2】离散系统。凡是满足如下条件的系统均为离散系统：(1)系统每隔固定的时间间隔才“更新”一次，即系统的输入与输出每隔固定的时间间隔便改变一次。固定的时间间隔称为系统的“采样”时间。(2)系统的输出依赖于系统当前的输入、以往的输入与输出，即系统的输出是它们的某种函数。(3)离散系统具有离散的状态。其中状态指的是系统前一时刻的输出量。第3章3.1.1离散系统的数学描述前面给出了离散系统的定义，这里给出离散系统的数学描述。设系统输入变量为，其中为系统的采样时间，为采样时刻。显然，系统的输入变量每隔固定的时间间隔改变一次。由于为一固定的值，因而系统输入常被简记为。设系统输出为，同样也可简记为。由离散系统的定义可知，其数学描述应为;)2()1(;)1()()(nynynunufny第3章【例3.2】对于如下的离散系统模型：其中系统的初始状态为y(0)=3，系统输入为，则系统在时刻0，1，2……的输出分别为……)1(3)1(2)()(2nynununy3)0(y13904)0(3)0(2)1()1(2yuuy5939416)1(3)1(2)2()2(2yuuy第3章离散系统除了采用一般的数学描述方式之外，还可以采用差分方程进行描述。使用差分方程描述方程形式如下：设系统的状态变量为，离散系统差分方程由以下两个方程构成：状态更新方程：系统输出方程：)),(),(()1(nnunxfnxd)),(),(()(nnunxgny第3章3.1.1离散系统的Simulink描述这里以【例3.2】中的离散系统为例，说明如何利用Simulink对离散系统进行描述，并在此基础上对系统进行简单的分析。与前面相类似，此处并不建立系统的Simulink模型进行仿真，而是编写M脚本文件从原理上对离散系统进行说明，并说明离散系统与连续系统的区别之处。编写脚本文件systemdemo2.m对【例3.2】中的离散系统进行描述分析。第3章%systemdemo2.m文件y(1)=3;%表示离散系统初始状态为3%由于MATLAB中数组下标从1开始，这里y(1)相当于上文中的y(0)=3，下同u(1)=0;%表示离散系统初始输入为0fori=2:11%设定离散系统输入范围为时刻0到时刻10u(i)=2*i;%离散系统输入向量y(i)=u(i).^2+2*u(i-1)+3*y(i-1);%离散系统输出向量endplot(u,y);grid；%绘制系统仿真结果第3章系统从时刻0到时刻10的输入与输出的关系如图3.2所示。其中横坐标表示离散系统的输入向量，而纵坐标表示离散系统的输出向量。说明：这里并没有指定离散系统的采样时间，而仅仅举例说明离散系统的求解分析。在实际的系统中，必须指定系统的采样时间，只有这样才能获得离散系统真正的动态性能。第3章图3.2【例3.2】中离散系统的输入输出关系第3章3.1.1线性离散系统对于任何系统而言，系统的描述都可以采用抽象的数学形式来进行描述。这是因为任何系统都可以被看作是输入到输出的某种变换。例如，离散系统可以由下述的变换进行描述：在离散系统之中，线性离散系统具有重要的地位。下面对线性离散系统进行简单的介绍。在此之前，读者需要理解如下的两个概念：(1)齐次性：若对于离散系统，如果对任意的输入与给定的任意常数，恒有3,2,1,0,)()(nnuTny)()(nuTnuT第3章(2)叠加性：如果系统对于输入和，输出分别为和，恒有则称系统满足叠加性。【定义3.3】线性离散系统。当离散系统同时满足齐次性与叠加性时，即则称此离散系统为线性离散系统。例如，对于如下的离散系统：)()()()(2121nuTnuTnunuT)()()()(2121nuTnuTnunuT)1(2)()(2nununy第3章)()()}1()({)}1()({)1()1()()()()(212211212121nuTnuTnunununununununununuT第3章3.1.1线性离散系统的数学描述对于线性离散系统来说，可以使用最一般的方式对其进行描述，如采用如下的数学方程进行描述：或采用差分方程进行描述：状态更新方程：系统输出方程：;)2()1(;)1()()(nynynunufny)),(),(()1(nnunxfnxd)),(),(()(nnunxgny第3章除了使用一般的方式描述线性离散系统之外，针对线性离散系统本身的特点，经常使用Z变换来描述线性离散系统。Z变换是对离散信号进行分析的一个强有力的工具，尤其是对线性离散系统。Z变换有丰富的内容，但由于本书的目的主要是对各种实际的系统进行Simulink仿真，故在此仅简单介绍线性离散系统的Z变换域描述以及MATLAB中一些比较常用的对线性离散系统进行分析的函数。第3章Z变换具有多种不同的性质，这里仅介绍Z变换的如下两个性质：(1)线性性。即对于离散信号和，设它们的Z变换分别为与，所谓Z变换的线性性指的是Z变换满足下面的关系：(2)设离散信号的Z变换为，则的Z变换为。)()()()(2121nuZnuZnunuZ第3章【例3.3】对于如下的线性离散系统：同时对等式两边进行Z变换，则有。一般在系统分析中，往往对系统输出与系统输入的比值比较关心，将此式化成分式的形式，有)1(3)1(2)()(nynununy323121)()(11zzzzzUzY第3章11022110)()(zddznznnzUzY在对系统进行描述分析时，此种形式的描述称之为滤波器描述。对上式进行等价变换，可以得到系统的传递函数描述线性系统最常用的一种描述方式：zdzdnznznzUzY1202120)()(还可以得到系统的零极点描述：)())(()()(121pzzzzzzkzUzY第3章3.2.6线性离散系统的Simulink描述线性离散系统的描述方式有如下四种形式：(1)线性离散系统的滤波器模型：在Simulink中，滤波器表示为num=[n0n1n2];den=[d0d1]；其中num表示Z变换域分式的分子系数向量，den为分母系数向量。(2)线性离散系统的传递函数模型：在Simulink中，系统的传递函数表示为num=[n0n1n2];den=[d0d1]；第3章(3)线性离散系统的零极点模型：在Simulink中，系统零极点表示为gain=K;zeros=[z1,z2];poles=[0,p1];(4)线性离散系统的状态空间模型：在Simulink中，设系统差分方程为如下形式：x(n+1)=Fx(n)+Gu(n)；y(n)=Cx(n)+Du(n)。其中x(n),u(n),y(n)分别为线性离散系统的状态变量、输入向量、输出向量。F，G，C，D分别为变换矩阵。在Simulink中，其表示很简单，只需要输入相应的变换矩阵F，G，C，D即可。第3章[3.4]对于如下的线性离散系统：在MATLAB中输入下面的语句，可以绘制出此系统的Bode图：num=[2–1–5];den=[1362];dbode(num,den,1)grid;此离散系统的Bode图如图3.3所示。26352)()(232zzzzzzUzY第3章当然也可以用下面的语句求出系统的幅值与相位而不绘制图形：[mag,phase]=dbode(num,den,1);第3章图3.3线性离散系统的Bode图第3章此外，在MATLAB中，离散系统的不同描述模型之间可以进行相互转化。这里给出几个比较常用的函数：[zeros,poles,k]=tf2zp(num,den)%将系统传递函数模型转化为零极点模型[num,den]=zp2tf(zeros,poles,k)%将系统零极点模型转化为传递函数模型。其中num，den分别为系统的传递函数表%示；zeros，poles，k为系统的零极点模型第3章至于线性离散系统的状态空间模型描述，这里不再介绍，感兴趣的读者可以参考其它有关的书籍。这里给出它与传递函数模型、零极点模型相互转化的函数命令：[zeros,poles,k]=ss2zp(F,G,C,D)%将系统状态空间模型转化为零极点模型[F,G,C,D]=zp2ss(zeros,poles,k)%将系统零极点模型转化为状态空间模型[num,den]=ss2tf(F,G,C,D)%将系统状态空间模型转化为传递函数模型[F,