4 空间与轴对称问题

第四章空间与轴对称问题三个方向尺寸同量级时，应该按三维问题求解，原理上与平面问题相同。平面转为空间的困难：（1）空间问题离散化不象平面问题直观，人工离散时容易出错。（2）未知量剧增，计算机的存储容量和费用将产生问题。办法：（1）通过寻找规律，建立网络，自动生成程序。（2）采用高阶单元提高精度，减少未知量，节省机时。4-1空间问题4-1-1常应变四面体单元（与常应变三角形单元类似）一、位移函数:问题相同。为形函数，性质与平面iN协调元—边界上位移连续是线性的，故使各单元由于~二、应变矩阵，应力矩阵几何方程：三、单元刚度矩阵，单元等效结点荷载矩阵。四、形成四面体的对角线划分法首先将空间域化分为若干个六面体，然后再将每个六面体划分成四面体的组合。两种方法1.将六面体划成5和四面体2.先将六面体划成2个五面体，再将每个五面体划成3个四面体。1.将六面体划成5个四面体用“三对”对角线将六面体分割成5个四面体两种形式：A5型和B5型A5型B5型个四面体将六面体划分为6.2六面体划分成六个四面体2367划分结果3456划分结果设D[1:8]为六面体交点的整体编码对于A5和A6型划分，可按下列形式形成四面体的角点编码D[m(1+3(I-1)J)+(1-m)(I+J)]D[m(3I+J-1)+(1-m)(1+I+J)(J+I)/2]D[m(2(1+I-J)+J(I+J)+(1-m)(2+I+J(J+1)/2]D[m(5+I+J(3-J)/2)+(1-m)(4+I+J)]其中：I=1,2J=0,1,2m=0,1A5型：m=1A6型：m=0对于A6型：取m=0I=1,J=0有：1，2，3，54-1-2其它单元形式及形函数一、四面体单元取A6还是B6决定于6个四面体角点编号于六面体角点编号的关系，其规律为：在边界处如果是一个五面体：补充两点：形成六面体，其中一个五面体不是单元。令:D(1)=0D(2)=0去掉不叠加。A.体积坐标P(x,y,z)分成四个四面体：面体上积分时可用求体积坐标幂函数在四与面积坐标一样简化四面体单元的分析过程B.常应变四结点单元体积坐标下的形函数Ni=Li(i=1,2,3,4)C.高阶四面体单元十阶点四面体二次单元二十阶点四面体三次单元二、六面体单元Serendipity(索氏）介绍Lagrange(拉氏）效果不好不介绍A.八结点线性单元B.二十结点二次单元及三十二结点三次单元二次单元（采用试凑法）三次单元（采用试凑法）三、五面体单元L1、L2是面积坐标：三维等参元单元分析式中：则可得：对于三维问题由求导法雅可比行列式为：为雅可比矩阵的逆记作式中~J由此对于三维问题：利用上式可的单元应变式中：为：弹性矩阵对于各向同性弹性体其~D由此可得单元应力：图示微元体体积图示微元体侧面积最终可得：脚标互换规律得到：其他侧面显然可由下面列式得到：可由虚位移或势能原理等效单荷维问题等参元的单刚和利用以上所得结果，三单元刚度方程为4-2轴对称问题轴对称问题：物体的几何形状，约束条件，作用的荷载都对称于某一固定轴。如烟囱在重力作用下，位移、应变、应力也对称于轴线。*此类问题属空间问题，但利用轴对称特点，可将其简化为平面问题求解离散化：取环单元，单元之间结点形成环状的铰链。4-2-1三角形环单元一.位移函数单元位移场：二、应变场、应力场由弹性力学知，柱坐标几何方程为：将位移函数代入：应力场：由物理方程有：弹性矩阵：应力矩阵的子矩阵：数。为常数，其他均不为常显然方程：除rZ三、单元刚度矩阵积分应在整个圆环上积分总的坐标变量。形心直接代替简化方法：用单元处的~B四、等效结点荷载几种常见情形：利用公式　　非轴对称荷载224nsFKseqsess,...,2,1~,~~　　即：工作量取多次，此法并不减少，荷载复杂，富氏级数1，一般取少数几项2