立体几何练习题及答案

1/11数学立体几何练习题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．如图，在正方体－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和上的点，A1M＝＝，则与平面1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E是中点，则AED的大小为（）A.45B.30C.60D.903．，，是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线与平面所成的角的余弦值为（）A．12B。32C。33D。634．正方体—A1B1C1D1中，E、F分别是1与1的中点，则直线与D1F所成角的余弦值是A．15B。13C。12D。325．在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，O是底面的中心，E、F分别是1CC、的中点，那么异面直线和1FD所成的角的余弦值等于（）A．510B．32C．55D．5156．在正三棱柱1B1C1中，若2，AA1=1，则点A到平面A1的距离2/11为（）A．43B．23C．433D．37．在正三棱柱1B1C1中，若1,则1与C1B所成的角的大小为（）A.60ºB.90ºC.105ºD.75º8．设E，F是正方体1的棱和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1成60°角的对角线的数目是（）A．0B．2C．4D．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.在正方体－A1B1C1D1中，M、N分别为棱1和1的中点，则〈CM，1DN〉的值为.10．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面的距离是.11．正四棱锥的所有棱长都相等，E为中点，则直线与截面所成的角为．12．已知正三棱柱1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线与平面B1所成角的正弦值为.13．已知边长为42的正三角形中，E、F分别为和的中点，⊥面，且2，设平面过且与平行，则与平面间的距离为．14．棱长都为2的直平行六面体—A1B1C1D1中，∠60°，则对角线ABMDC3/11ABCDPA1C与侧面1D1所成角的余弦值为.三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.15．如图，直三棱柱111CBAABC，底面ABC中，＝＝1，90BCA，棱21AA，M、N分别A1B1、A1A是的中点．(1)求的长；(2)求11,cosCBBA的值；(3)求证：NCBA11．16．如图，三棱锥P—中，平面，2，，D是上一点，且平面．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的大小；(3)求二面角的大小的余弦值．17．如图所示，已知在矩形中，1，（a0），⊥平面，且1．（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，边上能存在点Q，QPDCBAxyzB1C1A1CBAMN4/11使得⊥？（3）当边上有且仅有一个点Q使得⊥时，求二面角的余弦值大小．18.如图，在底面是棱形的四棱锥ABCDP中，,,60aACPAABCaPDPB2，点E在PD上，且PE:ED＝2:1．(1)证明PA平面ABCD；(2)求以为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；(3)在棱上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．19.如图四棱锥P—中，底面是平行四边形，⊥平面，垂足为G，G在上，且＝4，GDAG31，⊥，＝＝2，E是的中点．(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求点D到平面的距离；(3)若F点是棱上一点，且⊥，求FCPF的值．CDBAPEPAGBCDFE5/1120.已知四棱锥S－的底面是正方形，⊥底面，E是上的任意一点．(1)求证：平面⊥平面；(2)设＝4，＝2，求点A到平面的距离；(3)当的值为多少时，二面角B－－D的大小为120°？理科立体几何训练题（B）答案一、选择题题号12345678答案BDDADBBC二、填空题9.10．11.45°12．4513．332146/11ABCDPxyz43三、解答题15解析：以C为原点建立空间直角坐标系xyzO.(1)依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．3)01()10()01(222BM.(2)依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.5,6,3),2,1,0(),2,1,1(111111CBBACBBACBBA1030,cos111111CBBACBBACBBA.(3)证明：依题意得C1（0，0，2），N)0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(11NCBA.NCBANCBA1111,00212116．解析：(1)∵⊥平面,AB平面，∴.∵平面，AB平面，∴．又CCDPC，∴平面．(2由(I)平面，∵2，又∵，可求得．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０,０），Ｂ（0,0,0），C（,０,0），P（,０,2）．AP=(,－,2)，BC=(,0,0)．则APBC×+0+0=2．cosAP,BCAPBCAPBC222221．∴异面直线与所成的角为3．xyzB1C1A1CBAMN7/11（3）设平面的法向量为(x，y，z)．AB=(0,－,0)AP(,－,2)，则AB0,AP0.mm即20,2220.yxyz解得0,2yxz令-1,得(2，0，-1)．由平面易知：平面平面，取的中点E，连接，则BE为平面的一个法向量，)0,1,1(22)0,22,22(BE，故平面的法向量也可取为(1，1，0)．cos,mnmnmn=33232.∴二面角的大小的余弦值为33．17．解析：（1）以A为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．∵1，，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）．（2）设点Q（1，x，0），则(1,,0),(1,,1)DQxaQPx．由0DQQP，得x21=0．显然当该方程有非负实数解时，边上才存在点Q，使得⊥，故只须⊿2-4≥0．因a0，故a的取值范围为a≥2．（3）易见，当2时，上仅有一点满足题意，此时1，即Q为的中点．取的中点M，过M作⊥，垂足为N，连结、．则M（0，1，0），PzQPDCBAyxMN8/11zyxBCDAPEF（0，0，1），D（0，2，0）．∵D、N、P三点共线，∴(0,1,0)(0,1,1)(0,1,)111MDMPMN．又(0,2,1)PD，且0MNPD，故(0,1,)232(0,2,1)0113．于是22(0,1,)1233(0,,)25513MN．故12(1,,)55NQNMMQMNAB．∵1202()(1)()055PDNQ，∴PDNQ．（资料来源：168）∴∠为所求二面角的平面角．∵6cos6||||NMNQMNQNMNQ，注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.18解析：（1）传统方法易得证明（略）（2）传统方法或向量法均易解得30；（3）解以A为坐标原点，直线APAD,分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为)0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(aaCaaBA)31,32,0(),,0,0(),0,,0(aaEaPaD所以AE)31,32,0(aa，AC)0,21,23(aa，AP),,0,0(aPC),21,23(aaa9/11BP),21,23(aaa，设点F是棱PC上的点，PCPF),21,23(aaa，其中10，则))1(),1(21),1(23(aaaPFBPBF．令AEACBF21得221131)1(3221)1(2123)1(23aaaaaaa解得23,21,2121，即21时，AEACBF2321．亦即，F是的中点时，AEACBF,,共面，又BF平面AEC，所以当F是的中点时，BF∥平面AEC．19解析：(1)以G点为原点，GPGCGB、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，GE＝(1，1，0)，PC＝(0，2，4)。10102022||||cosPCGEPCGEPCGE，，∴与所成的余弦值为1010．(2)平面的单位法向量n＝(0，±1，0)∵)02323(4343，，BCADGD，∴点D到平面的距离为GD|n|＝23.(3)设F(0，y，z)，则)2323()02323()0(zyzyDF，，，，，，。∵GCDF，∴0GCDF，（资料来源：168）即032)020()2323(yzy，，，，，∴23y,又PCPF，即(0，23，z－4)＝λ(0，2，－4)，∴1，PAGBCDFE10/11故F(0，23，1)，)1210()3230(，，，，，FCPF，∴FCPF352352PFPC。20解析：(1)∵⊥平面，⊂平面，∴⊥，∵四边形是正方形，∴⊥，∴⊥平面，∵⊂平面，∴平面⊥平面.(2)设∩＝F，连结，则⊥，∵＝2，＝4，∴＝2，＝＝＝3，∴S△＝·＝·2·3＝6，设点A到平面的距离为h，∵⊥平面，∴·S△·h＝·S△·，∴6·h＝·2·2·4，∴h＝，即点A到平面的距离为.(3)设＝a，以A为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设＝1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，∴SC＝(1,1，－a)，SB＝(1,0，－a)，SD＝(0,1，－a)，再设平面、平面的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则111111100nSCxyaznSBxaz∴y1＝0，从而可取x1＝a，则z1＝1，∴n1＝(a,0,1)，222222200nSCxyaznSBxaz11/11∴x2＝0，从而可取y2＝a，则z2＝1，∴n2＝(0，a,1)，∴〈n1，n2〉＝，要使二面角B－－D的大小为120°，则＝，从而a＝1，即当＝＝1时，二面角B－－D的大小为120°.